Prueba de convergencia/divergencia de series (Testing for Convergence or Divergence of a Series)

TL;DR

• Prueba del término n-ésimo para divergencia: $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{la serie }\sum a_n \text{ diverge}$
• Convergencia/divergencia de series geométricas: La serie geométrica $\sum ar^{n-1}$
  • converge si $|r| < 1$
  • diverge si $|r| \geq 1$
• Convergencia/divergencia de series p: La serie p $\sum \cfrac{1}{n^p}$
  • converge si $p>1$
  • diverge si $p\leq 1$
• Prueba de comparación: Si $0 \leq a_n \leq b_n$, entonces
  • $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
  • $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
• Prueba de comparación del límite: Si $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ es un número positivo finito)}$, entonces las dos series $\sum a_n$ y $\sum b_n$ convergen o divergen juntas
• Para una serie de términos positivos $\sum a_n$ y un número positivo $\epsilon < 1$
  • Si $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
  • Si $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge
• Prueba de la raíz: Para una serie de términos positivos $\sum a_n$, si existe el límite $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$,
  • Si $r<1$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
  • Si $r>1$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge
• Prueba del cociente: Para una sucesión de números positivos $(a_n)$ y $0 < r < 1$
  • Si $a_{n+1}/a_n \leq r$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
  • Si $a_{n+1}/a_n \geq 1$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge
• Para una sucesión de números positivos $(a_n)$, si existe el límite $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$,
  • Si $\rho < 1$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
  • Si $\rho > 1$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge
• Prueba de la integral: Para una función continua y decreciente $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ con $f(x)>0$ siempre, la serie $\sum f(n)$ converge si y solo si la integral $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$ converge
• Prueba de series alternantes: Una serie alternante $\sum a_n$ converge si se cumplen las siguientes condiciones:
  1. $a_n$ y $a_{n+1}$ tienen signos opuestos para todo $n$
  2. $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ para todo $n$
  3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
• Una serie absolutamente convergente es convergente. Lo contrario no es necesariamente cierto.

Prerrequisitos

• Sucesiones y series

Introducción

Anteriormente en Sucesiones y series, vimos las definiciones de convergencia y divergencia de series. En este artículo, resumiremos varios métodos que se pueden usar para determinar la convergencia/divergencia de series. En general, determinar la convergencia/divergencia de una serie es mucho más fácil que calcular su suma exacta.

Prueba del término n-ésimo

Para una serie $\sum a_n$, $a_n$ se llama el término general de la serie.

Por el siguiente teorema, podemos fácilmente determinar que algunas series divergen obviamente, por lo que es sabio verificar esto primero al juzgar la convergencia/divergencia de una serie para evitar perder tiempo.

Prueba del término n-ésimo para divergencia
Si una serie $\sum a_n$ converge, entonces

\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]

Es decir,

\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{la serie }\sum a_n \text{ diverge}\]

Demostración

Sea $l$ la suma de una serie convergente $\sum a_n$ y sea $s_n$ la suma de los primeros $n$ términos:

\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

Entonces,

\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]

Por lo tanto, para $n$ suficientemente grande ($>N$)

\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]

Así, por la definición de convergencia de sucesiones,

\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]

Precaución

El recíproco de este teorema generalmente no es cierto. Un ejemplo típico que lo demuestra es la serie armónica.

La serie armónica es una serie obtenida de una sucesión cuyos términos son los recíprocos de una progresión aritmética, es decir, una sucesión armónica. La serie armónica típica es

\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]

Se puede demostrar que esta serie diverge de la siguiente manera:

\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]

Como se puede ver, aunque la serie $H_n$ diverge, el término general $1/n$ converge a $0$.

Si $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$, entonces la serie $\sum a_n$ definitivamente diverge, pero es peligroso pensar que la serie $\sum a_n$ convergerá si $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, y en este caso se deben usar otros métodos para determinar la convergencia/divergencia.

Series geométricas

La serie geométrica obtenida de una progresión geométrica con primer término 1 y razón $r$

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]

es la serie más importante y fundamental. De la igualdad

\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]

obtenemos

\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]

Por otro lado,

\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]

por lo que sabemos que la condición necesaria y suficiente para que la serie geométrica ($\ref{eqn:geometric_series}$) converja es $|r| < 1$.

Convergencia/divergencia de series geométricas
La serie geométrica $\sum ar^{n-1}$

• converge si $|r| < 1$
• diverge si $|r| \geq 1$

De esto obtenemos

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]

Series geométricas y valores aproximados

La identidad ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$) es útil para encontrar valores aproximados de $\cfrac{1}{1-r}$ cuando $|r| < 1$.

Sustituyendo $r=-\epsilon$, $n=2$ en esta ecuación, obtenemos

\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]

Por lo tanto, si $0 < \epsilon < 1$,

\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]

así que obtenemos

\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]

De esto, podemos ver que para un número positivo $\epsilon$ suficientemente pequeño, $\cfrac{1}{1 + \epsilon}$ se puede aproximar por $1 - \epsilon$.

Prueba de series p (Prueba de series p)

Para un número real positivo $p$, una serie de la siguiente forma se llama serie p:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]

Convergencia/divergencia de series p
La serie p $\sum \cfrac{1}{n^p}$

• converge si $p>1$
• diverge si $p\leq 1$

En las series p, cuando $p=1$, se convierte en la serie armónica, que ya hemos demostrado que diverge.
El problema de encontrar el valor de la serie p cuando $p=2$, es decir, $\sum \cfrac{1}{n^2}$, se llama el ‘problema de Basilea’, nombrado así por la ciudad base de la familia Bernoulli, que produjo varios matemáticos famosos a lo largo de varias generaciones y que fue la primera en demostrar que esta serie converge. Se sabe que la respuesta a este problema es $\cfrac{\pi^2}{6}$.

Más generalmente, la serie p para $p>1$ se llama función zeta. Esta es una función especial introducida por Leonhard Euler en 1740 y posteriormente nombrada por Riemann, definida como

\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]

Esto se desvía un poco del tema de este artículo y, para ser honesto, como soy un estudiante de ingeniería y no un matemático, no lo sé muy bien, así que no lo trataré aquí, pero Leonhard Euler demostró que la función zeta también se puede expresar como un producto infinito de números primos llamado producto de Euler, y posteriormente la función zeta ocupa una posición central en varios campos de la teoría analítica de números. La función zeta de Riemann, que extiende el dominio de definición de la función zeta a los números complejos, y el importante problema no resuelto relacionado con ella, la hipótesis de Riemann, son algunos de ellos.

Volviendo al tema original, la demostración de la prueba de series p requiere la prueba de comparación y la prueba de la integral que se discutirán más adelante. Sin embargo, la convergencia/divergencia de las series p puede ser útil en la prueba de comparación que se discutirá justo después de las series geométricas, por lo que se ha colocado intencionalmente hacia el principio.

Demostración

i) Cuando $p>1$

La integral

\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]

converge, por lo que por la prueba de la integral, sabemos que la serie $\sum \cfrac{1}{n^p}$ también converge.

ii) Cuando $p\leq 1$

En este caso,

\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]

Aquí sabemos que la serie armónica $\sum \cfrac{1}{n}$ diverge, por lo que por la prueba de comparación, sabemos que $\sum \cfrac{1}{n^p}$ también diverge.

Conclusión

Por i) y ii), la serie p $\sum \cfrac{1}{n^p}$ converge si $p>1$ y diverge si $p \leq 1$. $\blacksquare$

Prueba de comparación

La prueba de comparación de Jakob Bernoulli es útil para determinar la convergencia/divergencia de series de términos positivos, que son series cuyos términos generales son números reales no negativos.

Como una serie de términos positivos $\sum a_n$ es una sucesión creciente, si no diverge a infinito ($\sum a_n = \infty$), debe converger. Por lo tanto, en una serie de términos positivos, la expresión

\[\sum a_n < \infty\]

significa que converge.

Prueba de comparación
Si $0 \leq a_n \leq b_n$, entonces

• $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
• $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$

En particular, es bueno intentar activamente la prueba de comparación al determinar la convergencia/divergencia de series que tienen una forma similar a las series geométricas $\sum ar^{n-1}$ o las series p $\sum \cfrac{1}{n^p}$ que vimos anteriormente, como $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$, etc.

Varias otras pruebas de convergencia/divergencia que se discutirán más adelante se pueden derivar de esta prueba de comparación, y en ese sentido, se puede decir que la prueba de comparación es la más importante.

Prueba de comparación del límite

Para series de términos positivos $\sum a_n$ y $\sum b_n$, supongamos que los términos dominantes en el numerador y denominador de la razón de los términos generales de las dos series $a_n/b_n$ se cancelan, resultando en $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{ es un número positivo finito)}$. Si conocemos la convergencia/divergencia de la serie $\sum b_n$, podemos usar la siguiente prueba de comparación del límite.

Prueba de comparación del límite
Si

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ es un número positivo finito)}\]

entonces las dos series $\sum a_n$ y $\sum b_n$ convergen o divergen juntas. Es decir, $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$.

Prueba de la raíz

Teorema
Para una serie de términos positivos $\sum a_n$ y un número positivo $\epsilon < 1$

• Si $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
• Si $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge

Corolario: Prueba de la raíz
Para una serie de términos positivos $\sum a_n$, supongamos que existe el límite

\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]

Entonces,

• Si $r<1$, la serie $\sum a_n$ converge
• Si $r>1$, la serie $\sum a_n$ diverge

En el corolario anterior, si $r=1$, no se puede determinar la convergencia/divergencia, por lo que se debe usar otro método.

Prueba del cociente

Prueba del cociente
Para una sucesión de números positivos $(a_n)$ y $0 < r < 1$

• Si $a_{n+1}/a_n \leq r$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
• Si $a_{n+1}/a_n \geq 1$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge

Corolario
Para una sucesión de números positivos $(a_n)$, supongamos que existe el límite $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$. Entonces,

• Si $\rho < 1$, la serie $\sum a_n$ converge
• Si $\rho > 1$, la serie $\sum a_n$ diverge

Prueba de la integral

El método de integración se puede usar para determinar la convergencia/divergencia de series compuestas por sucesiones decrecientes de números positivos.

Prueba de la integral
Para una función continua y decreciente $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ con $f(x)>0$ siempre, la serie $\sum f(n)$ converge si y solo si la integral

\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]

converge.

Demostración

Como la función $f(x)$ es continua, decreciente y siempre positiva, se cumple la desigualdad

\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]

Sumando esta desigualdad desde $n=1$ hasta el término general, obtenemos la desigualdad

\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]

Ahora, aplicando la prueba de comparación, obtenemos el resultado deseado. $\blacksquare$

Series alternantes

Una serie $\sum a_n$ donde los términos generales no son cero y el signo de cada término $a_n$ es diferente del signo del siguiente término $a_{n+1}$, es decir, donde los términos positivos y negativos aparecen alternativamente, se llama serie alternante.

Para las series alternantes, el siguiente teorema descubierto por el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz puede ser útilmente aplicado para determinar la convergencia/divergencia.

Prueba de series alternantes
Si

1. $a_n$ y $a_{n+1}$ tienen signos opuestos para todo $n$,
2. $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ para todo $n$, y
3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,

entonces la serie alternante $\sum a_n$ converge.

Series absolutamente convergentes

Si para una serie $\sum a_n$, la serie $\sum |a_n|$ converge, se dice que “la serie $\sum a_n$ converge absolutamente”.

En este caso, se cumple el siguiente teorema.

Teorema
Una serie absolutamente convergente es convergente.

El recíproco de este teorema no es cierto.
Cuando una serie converge pero no converge absolutamente, se dice que “converge condicionalmente”.

Demostración

Para un número real $a$, definamos

\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]

Entonces obtenemos,

\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]

Ahora, como $0 \leq a^\pm \leq |a|$, por la prueba de comparación, si la serie $\sum |a_n|$ converge, las series $\sum a_n^+$ y $\sum a_n^-$ también convergen, y por lo tanto, por las propiedades básicas de las series convergentes,

\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]

también converge. $\blacksquare$