Pruebas de convergencia/divergencia de series (Testing for Convergence or Divergence of a Series)

TL;DR

• Prueba del término n-ésimo (n-th-term test for divergence): $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{la serie }\sum a_n \text{ diverge}$
• Convergencia/divergencia de series geométricas: La serie geométrica $\sum ar^{n-1}$:
  • Converge si $|r| < 1$
  • Diverge si $|r| \geq 1$
• Convergencia/divergencia de series p: La serie p $\sum \cfrac{1}{n^p}$:
  • Converge si $p>1$
  • Diverge si $p\leq 1$
• Criterio de comparación (Comparison Test): Si $0 \leq a_n \leq b_n$, entonces:
  • $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
  • $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
• Criterio de comparación por límite (Limit Comparison Test): Si $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (donde }c\text{ es un número positivo finito)}$, entonces ambas series $\sum a_n$ y $\sum b_n$ convergen o ambas divergen
• Para una serie de términos positivos $\sum a_n$ y un número positivo $\epsilon < 1$:
  • Si $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
  • Si $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge
• Criterio de la raíz (Root Test): Para una serie de términos positivos $\sum a_n$, si existe el límite $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$:
  • Si $r<1$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
  • Si $r>1$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge
• Criterio del cociente (Ratio Test): Para una sucesión de números positivos $(a_n)$ y $0 < r < 1$:
  • Si $a_{n+1}/a_n \leq r$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
  • Si $a_{n+1}/a_n \geq 1$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge
• Para una sucesión de números positivos $(a_n)$, si existe el límite $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$:
  • Si $\rho < 1$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
  • Si $\rho > 1$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge
• Criterio de la integral (Integral Test): Si $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua, decreciente y siempre $f(x)>0$, entonces la serie $\sum f(n)$ converge si y solo si la integral $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$ converge
• Criterio de las series alternadas (Alternating Series Test): Una serie alternada $\sum a_n$ converge si:
  1. Los signos de $a_n$ y $a_{n+1}$ son diferentes para todo $n$
  2. $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ para todo $n$
  3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
• Una serie absolutamente convergente es convergente. El recíproco no es cierto.

Prerrequisitos

• Sucesiones y series

Introducción

Anteriormente en Sucesiones y series, vimos la definición de convergencia y divergencia de series. En este artículo, resumiremos varios métodos que pueden utilizarse para determinar la convergencia o divergencia de una serie. En general, determinar si una serie converge o diverge es mucho más sencillo que calcular su suma exacta.

Criterio del término n-ésimo

Para una serie $\sum a_n$, llamamos a $a_n$ el término general de la serie.

Gracias al siguiente teorema, podemos identificar fácilmente algunas series que claramente divergen, por lo que verificar esto primero es una estrategia inteligente para evitar perder tiempo.

Criterio del término n-ésimo (n-th-term test for divergence)
Si una serie $\sum a_n$ converge, entonces:

\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]

Es decir:

\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{la serie }\sum a_n \text{ diverge}\]

Demostración

Sea $l$ la suma de una serie convergente $\sum a_n$ y definamos la suma de los primeros $n$ términos como:

\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

Entonces:

\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]

Por lo tanto, para $n$ suficientemente grande ($>N$):

\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]

Por la definición de convergencia de sucesiones:

\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]

Advertencia

El recíproco de este teorema no es generalmente cierto. Un ejemplo clásico que lo demuestra es la serie armónica (harmonic series).

La serie armónica es una serie cuyos términos son los recíprocos de una sucesión aritmética, es decir, una sucesión armónica. La serie armónica más representativa es:

\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]

Podemos demostrar que esta serie diverge de la siguiente manera:

\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]

Como podemos ver, aunque la serie $H_n$ diverge, su término general $1/n$ converge a $0$.

Si $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$, entonces la serie $\sum a_n$ definitivamente diverge, pero asumir que una serie $\sum a_n$ converge solo porque $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ es peligroso. En este caso, se deben utilizar otros métodos para determinar la convergencia o divergencia.

Series geométricas

La serie geométrica (geometric series) con primer término 1 y razón $r$:

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]

es una de las series más importantes y fundamentales. De la igualdad:

\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]

obtenemos:

\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]

Por otro lado:

\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]

Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para que la serie geométrica ($\ref{eqn:geometric_series}$) converja es que $|r| < 1$.

Convergencia/divergencia de series geométricas
La serie geométrica $\sum ar^{n-1}$:

• Converge si $|r| < 1$
• Diverge si $|r| \geq 1$

De esto obtenemos:

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]

Series geométricas y aproximaciones

La identidad ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$) es útil para encontrar aproximaciones de $\cfrac{1}{1-r}$ cuando $|r| < 1$.

Sustituyendo $r=-\epsilon$ y $n=2$ en esta ecuación:

\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]

Por lo tanto, si $0 < \epsilon < 1$:

\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]

Así:

\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]

Esto nos muestra que para un valor positivo $\epsilon$ suficientemente pequeño, $\cfrac{1}{1 + \epsilon}$ puede aproximarse como $1 - \epsilon$.

Criterio de las series p (p-Series Test)

Para un número real positivo $p$, una serie de la forma:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]

se denomina serie p.

Convergencia/divergencia de series p
La serie p $\sum \cfrac{1}{n^p}$:

• Converge si $p>1$
• Diverge si $p\leq 1$

En el caso de $p=1$, la serie p se convierte en la serie armónica, que como ya vimos, diverge.
El problema de encontrar el valor de la serie p cuando $p=2$, es decir, $\sum \cfrac{1}{n^2}$, se conoce como el “problema de Basilea” (Basel problem), nombrado así por la ciudad natal de la familia Bernoulli, que produjo varios matemáticos famosos a lo largo de generaciones. Se sabe que la respuesta a este problema es $\cfrac{\pi^2}{6}$.

Más generalmente, la serie p para $p>1$ se conoce como la función zeta (zeta function). Esta es una función especial introducida por Leonhard Euler en el año 11740 HE y posteriormente nombrada por Riemann, definida como:

\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]

Aunque se desvía un poco del tema principal de este artículo, y siendo sincero, como estudiante de ingeniería y no matemático, no profundizaré en ello, pero Leonhard Euler demostró que la función zeta también puede expresarse como un producto infinito de números primos, conocido como el producto de Euler (Euler Product). Posteriormente, la función zeta ha ocupado un lugar central en varios campos de la teoría analítica de números. La función zeta de Riemann (Riemann zeta function), que extiende el dominio de la función zeta a los números complejos, y la importante conjetura no resuelta conocida como la hipótesis de Riemann (Riemann hypothesis) son parte de este campo.

Volviendo a nuestro tema, la demostración del criterio de las series p requiere el criterio de comparación y el criterio de la integral que veremos más adelante. Sin embargo, la convergencia/divergencia de las series p, junto con las series geométricas, puede ser útil en el criterio de comparación que veremos a continuación, por lo que intencionalmente lo he colocado antes.

Demostración

i) Cuando $p>1$

La integral:

\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]

converge, por lo que según el criterio de la integral, la serie $\sum \cfrac{1}{n^p}$ también converge.

ii) Cuando $p\leq 1$

En este caso:

\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]

Sabemos que la serie armónica $\sum \cfrac{1}{n}$ diverge, por lo que según el criterio de comparación, $\sum \cfrac{1}{n^p}$ también diverge.

Conclusión

Por i) y ii), la serie p $\sum \cfrac{1}{n^p}$ converge si $p>1$ y diverge si $p \leq 1$. $\blacksquare$

Criterio de comparación

El criterio de comparación (Comparison Test) de Jakob Bernoulli es útil para determinar la convergencia o divergencia de series de términos positivos (series of positive terms), que son series cuyos términos generales son números reales no negativos.

Una serie de términos positivos $\sum a_n$ forma una sucesión creciente, por lo que si no diverge a infinito ($\sum a_n = \infty$), entonces necesariamente converge. Por lo tanto, en series de términos positivos, la expresión:

\[\sum a_n < \infty\]

significa que la serie converge.

Criterio de comparación (Comparison Test)
Si $0 \leq a_n \leq b_n$, entonces:

• $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
• $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$

En particular, para series de términos positivos como $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$, que tienen formas similares a las series geométricas $\sum ar^{n-1}$ o series p $\sum \cfrac{1}{n^p}$ que vimos anteriormente, es recomendable intentar aplicar el criterio de comparación.

Muchos de los otros criterios de convergencia/divergencia que veremos más adelante pueden derivarse de este criterio de comparación, lo que lo hace particularmente importante.

Criterio de comparación por límite

Para series de términos positivos $\sum a_n$ y $\sum b_n$, si el cociente de sus términos generales $a_n/b_n$ tiene un límite $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c$ (donde $c$ es un número positivo finito) debido a la cancelación de términos dominantes en el numerador y denominador, y conocemos la convergencia o divergencia de la serie $\sum b_n$, podemos utilizar el siguiente criterio de comparación por límite (Limit Comparison Test).

Criterio de comparación por límite (Limit Comparison Test)
Si:

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (donde }c\text{ es un número positivo finito)}\]

entonces ambas series $\sum a_n$ y $\sum b_n$ convergen o ambas divergen. Es decir, $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$.

Criterio de la raíz

Teorema
Para una serie de términos positivos $\sum a_n$ y un número positivo $\epsilon < 1$:

• Si $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
• Si $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge

Corolario: Criterio de la raíz (Root Test)
Para una serie de términos positivos $\sum a_n$, si existe el límite:

\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]

Entonces:

• Si $r<1$, la serie $\sum a_n$ converge
• Si $r>1$, la serie $\sum a_n$ diverge

En el corolario anterior, si $r=1$, no podemos determinar la convergencia o divergencia, por lo que debemos usar otro método.

Criterio del cociente

Criterio del cociente (Ratio Test)
Para una sucesión de números positivos $(a_n)$ y $0 < r < 1$:

• Si $a_{n+1}/a_n \leq r$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
• Si $a_{n+1}/a_n \geq 1$ para todo $n$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge

Corolario
Para una sucesión de números positivos $(a_n)$, si existe el límite $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$:

• Si $\rho < 1$, entonces la serie $\sum a_n$ converge
• Si $\rho > 1$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge

Criterio de la integral

El cálculo integral puede utilizarse para determinar la convergencia o divergencia de series compuestas por sucesiones decrecientes de términos positivos.

Criterio de la integral (Integral Test)
Si $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua, decreciente y siempre $f(x)>0$, entonces la serie $\sum f(n)$ converge si y solo si la integral:

\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]

converge.

Demostración

Si la función $f(x)$ es continua, decreciente y siempre positiva, entonces se cumple la desigualdad:

\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]

Sumando esta desigualdad desde $n=1$ hasta el término general, obtenemos:

\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]

Aplicando el criterio de comparación, obtenemos el resultado deseado. $\blacksquare$

Series alternadas

Una serie alternada (alternating series) es una serie $\sum a_n$ cuyos términos $a_n$ no son cero y tienen signos alternados, es decir, el signo de cada término $a_n$ es diferente al del siguiente término $a_{n+1}$.

Para las series alternadas, el siguiente teorema descubierto por el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz puede ser útil para determinar su convergencia o divergencia.

Criterio de las series alternadas (Alternating Series Test)
Si:

1. Los signos de $a_n$ y $a_{n+1}$ son diferentes para todo $n$,
2. $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ para todo $n$, y
3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,

entonces la serie alternada $\sum a_n$ converge.

Series absolutamente convergentes

Se dice que una serie $\sum a_n$ converge absolutamente (converge absolutely) si la serie $\sum |a_n|$ converge.

En este caso, se cumple el siguiente teorema:

Teorema
Una serie absolutamente convergente es convergente.

El recíproco del teorema anterior no es cierto.
Cuando una serie converge pero no converge absolutamente, se dice que converge condicionalmente (converge conditionally).

Demostración

Para un número real $a$, definimos:

\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]

Entonces:

\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]

Como $0 \leq a^\pm \leq |a|$, por el criterio de comparación, si la serie $\sum |a_n|$ converge, entonces las series $\sum a_n^+$ y $\sum a_n^-$ también convergen, y por las propiedades básicas de las series convergentes:

\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]

también converge. $\blacksquare$