Reacciones nucleares y energía de enlace

Reacción nuclear (Nuclear Reaction)

Leyes fundamentales en las reacciones nucleares

Reacción nuclear (nuclear reaction): Una reacción en la que dos núcleos atómicos diferentes o un núcleo atómico y un nucleón colisionan para producir dos o más nuevas partículas nucleares o rayos gamma.

Cuando dos núcleos atómicos $a$ y $b$ reaccionan para producir núcleos atómicos o rayos gamma $c$ y $d$, esta reacción se expresa de la siguiente manera:

\[a + b \rightarrow c + d \tag{1} \label{nuclear_reaction}\]

En las reacciones nucleares se cumplen las siguientes cuatro leyes fundamentales:

• Ley de conservación del número de nucleones (conservation of nucleon): El número total de nucleones es el mismo antes y después de la reacción. Aunque el tipo de nucleón puede cambiar, los protones y neutrones no se conservan individualmente.
• Ley de conservación de la carga (conservation of charge): La suma total de las cargas de las partículas es la misma antes y después de la reacción.
• Ley de conservación del momento (conservation of momentum): La suma total de los momentos de las partículas es la misma antes y después de la reacción.
• Ley de conservación de la energía (conservation of energy): La energía total, incluyendo la energía de la masa en reposo, es la misma antes y después de la reacción.

Reacción exotérmica (exothermic reaction) y reacción endotérmica (endothermic reaction)

En la reacción nuclear de la ecuación ($\ref{nuclear_reaction}$), la energía total antes de la reacción es la suma de las energías de masa en reposo y las energías cinéticas de $a$ y $b$, y la energía total después de la reacción es la suma de las energías de masa en reposo y las energías cinéticas de $c$ y $d$. Por lo tanto, según la ley de conservación de la energía, se cumple lo siguiente:

\[E_a + E_b + M_a c^2 + M_b c^2 = E_c + E_d + M_c c^2 + M_d c^2.\]

Reorganizando esta ecuación, obtenemos:

\[(E_c + E_d) - (E_a + E_b) = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]c^2.\]

Es decir, podemos ver que la diferencia en la energía cinética antes y después de la reacción nuclear es igual a la diferencia en la masa en reposo antes y después de la reacción. El lado derecho de la última ecuación se denomina valor Q (Q-value) de la reacción nuclear y se define de la siguiente manera:

\[Q = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]c^2 \ \text{MeV}.\tag{2} \label{Q_value}\]

El valor Q siempre se expresa en unidades de MeV, y dado que la energía de masa en reposo para 1 amu es generalmente 931MeV, el valor Q también puede escribirse como:

\[Q = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]\cdot 931 \ \text{MeV}.\tag{3}\]

• Reacción exotérmica (exothermic reaction): Reacción nuclear con $Q>0$, parte de la masa se convierte en energía cinética, aumentando la energía cinética después de la reacción
• Reacción endotérmica (endothermic reaction): Reacción nuclear con $Q<0$, parte de la energía cinética se convierte en masa, disminuyendo la energía cinética después de la reacción

Tipo de reacción nuclear	Valor Q	Cambio de masa antes y después de la reacción	Cambio de energía cinética antes y después de la reacción
Reacción exotérmica	$Q>0$	$\Delta m<0$ (disminución)	$\Delta E>0$ (aumento)
Reacción endotérmica	$Q<0$	$\Delta m>0$ (aumento)	$\Delta E<0$ (disminución)

Expresión abreviada de las reacciones nucleares

La reacción nuclear de la ecuación ($\ref{nuclear_reaction}$) puede expresarse de forma abreviada de la siguiente manera:

\[a(b, c)d\]

Esto significa una reacción nuclear en la que $b$ incide sobre $a$, emitiendo $c$ y transformándose en $d$.

ej.)

• $^{16} \text{O}(n,p)^{16}\text{N}$
• $^{14} \text{N}(n,p)^{14}\text{C}$
• $^{3} \text{H}(d,n)^{4}\text{He}$
• $p(n,\gamma)d$

Energía de enlace (Binding Energy)

Defecto de masa (Mass Defect)

La masa de todos los núcleos es ligeramente menor que la suma de las masas de los neutrones y protones que lo componen. Esta diferencia se denomina defecto de masa (mass defect).

Si la masa del núcleo es $M_A$, el defecto de masa $\Delta$ de cualquier núcleo se puede calcular de la siguiente manera:

\[\Delta = ZM_p + NM_n - M_A.\]

Si expresamos el defecto de masa $\Delta$ en unidades de energía, representa la energía necesaria para dividir un núcleo en sus nucleones constituyentes. Esto se denomina energía de enlace (binding energy) porque es la energía que mantiene unidos a los nucleones. Por el contrario, cuando se forma un núcleo atómico a partir de A nucleones, el nivel de energía disminuye en la cantidad de energía de enlace $\Delta$, por lo que se libera esa cantidad de energía al entorno durante el proceso de reacción nuclear.

Energía de enlace promedio por nucleón

Aunque la energía de enlace total del núcleo atómico aumenta con el aumento del número másico $A$, la pendiente no es constante.

Como se puede ver en la imagen anterior, la energía de enlace promedio por nucleón $\Delta/A$ aumenta rápidamente para números másicos bajos, pero disminuye con una pendiente suave para núcleos atómicos pesados con $A\geq56$.

Relación entre el valor Q de la reacción nuclear y la energía de enlace

En la reacción nuclear de la ecuación ($\ref{nuclear_reaction}$), la energía de enlace del núcleo $a$ es

\[\text{BE}(a) = Z_a M_p + N_a M_n - M_a\]

y la masa de $a$ es

\[M_a = Z_a M_p + N_a M_n - \text{BE}(a)\]

De la misma manera, para los núcleos $b$, $c$, y $d$

\[\begin{align*} M_b &= Z_b M_p + N_b M_n - \text{BE}(b) \\ M_c &= Z_c M_p + N_c M_n - \text{BE}(c) \\ M_d &= Z_d M_p + N_d M_n - \text{BE}(d) \\ \end{align*}\]

Considerando que

\[\begin{align*} Z_a + Z_b &= Z_c + Z_d\, , \\ N_a + N_b &= N_c + N_d \end{align*}\]

y sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación ($\ref{Q_value}$), obtenemos

\[Q = [\text{BE}(c) + \text{BE}(d)] - [\text{BE}(a) + \text{BE}(b)]\]

Esto significa que siempre se libera energía cuando dos núcleos menos estables se combinan para formar un núcleo más estable a través de un proceso de reacción nuclear.

Fusión nuclear (Nuclear Fusion) y fisión nuclear (Nuclear Fission)

En el caso de una reacción nuclear donde el deuterio con una energía de enlace de $2.23\text{MeV}$ y el tritio con una energía de enlace de $8.48\text{MeV}$ se combinan para producir $^4\text{He}$ con una energía de enlace de $28.3\text{MeV}$ y emitir un neutrón

\[^2\text{H} + {^3\text{H}} \rightarrow {^4\text{He}} + n \tag{4} \label{nuclear_fusion}\]

se libera una energía de $28.3-(2.23+8.48)=17.6\text{MeV}$ (3.52MeV por nucleón), que corresponde a la diferencia en las energías de enlace antes y después de la reacción, en forma de energía cinética del núcleo de helio y el neutrón.

Una reacción como la ecuación ($\ref{nuclear_fusion}$), donde dos núcleos atómicos ligeros con números másicos pequeños se combinan para formar un núcleo atómico pesado con un número másico mayor que antes de la reacción, se denomina fusión nuclear (nuclear fusion). Esta es la fuente de energía de todas las estrellas, incluido el Sol, y algún día la humanidad podrá utilizarla directamente como fuente de energía.

Por otro lado, en el caso de una reacción nuclear donde el $^{235}\text{U}$ con una energía de enlace de aproximadamente $1780\text{MeV}$ absorbe un neutrón y luego se separa en $^{92}\text{Kr}$ con una energía de enlace de $783\text{MeV}$ y $^{141}\text{Ba}$ con aproximadamente $1170\text{MeV}$, emitiendo tres neutrones

\[{^{235}\text{U}} + n \rightarrow {^{92}\text{Kr}} + {^{141}\text{Ba}} + 3n \tag{5} \label{nuclear_fission}\]

se libera una energía de $783+1170-1780=173\text{MeV}$ (0.733MeV por nucleón), que corresponde a la diferencia en las energías de enlace antes y después de la reacción.

Una reacción como la ecuación ($\ref{nuclear_fission}$), donde un núcleo atómico pesado se divide en núcleos atómicos más ligeros, se denomina fisión nuclear (nuclear fission). Desde el discurso “Átomos para la Paz” (Atoms for Peace) del 34º presidente de los Estados Unidos, Dwight D. Eisenhower, y la central nuclear de Obninsk en la Unión Soviética, se ha utilizado ampliamente como fuente de energía eléctrica.