Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas de segundo orden

TL;DR

• Solución general de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de segundo orden $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: solución general de la ecuación homogénea $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, donde $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: solución particular de la ecuación no homogénea
• El término de respuesta $y_p$ está determinado únicamente por la entrada $r(x)$ y no cambia con diferentes condiciones iniciales para la misma ecuación no homogénea. La diferencia entre dos soluciones particulares de la ecuación no homogénea es una solución de la ecuación homogénea correspondiente.
• Existencia de la solución general: Si los coeficientes $p(x)$, $q(x)$ y la función de entrada $r(x)$ son continuos, siempre existe una solución general
• Inexistencia de soluciones singulares: La solución general incluye todas las soluciones posibles (es decir, no existen soluciones singulares)

Prerrequisitos

• Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden
• Wronskiano, existencia y unicidad de soluciones

Solución general y solución particular de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas de segundo orden

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de segundo orden

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

donde $r(x) \not\equiv 0$. La solución general de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en un intervalo abierto $I$ es la suma de la solución general $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ de la ecuación homogénea correspondiente

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

y una solución particular $y_p$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$):

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

Una solución particular de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$ se obtiene asignando valores específicos a las constantes arbitrarias $c_1$ y $c_2$ en $y_h$ de la ecuación ($\ref{eqn:general_sol}$).

En otras palabras, cuando añadimos una entrada $r(x)$ que solo depende de la variable independiente $x$ a la ecuación homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), se añade un término de respuesta correspondiente $y_p$ a la solución, y este término adicional $y_p$ está determinado únicamente por la entrada $r(x)$, independientemente de las condiciones iniciales. Como veremos más adelante, si calculamos la diferencia entre dos soluciones particulares $y_1$ e $y_2$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) (es decir, la diferencia entre soluciones para dos condiciones iniciales diferentes), el término $y_p$ independiente de las condiciones iniciales se cancela, dejando solo la diferencia entre ${y_h}_1$ y ${y_h}_2$, que por el principio de superposición es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).

Relación entre las soluciones de la ecuación no homogénea y la ecuación homogénea correspondiente

Teorema 1: Relación entre las soluciones de la ecuación no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y la ecuación homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)
(a) La suma de cualquier solución $y$ de la ecuación no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y cualquier solución $\tilde{y}$ de la ecuación homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en un intervalo abierto $I$ es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$. En particular, la expresión ($\ref{eqn:general_sol}$) es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$.
(b) La diferencia entre dos soluciones cualesquiera de la ecuación no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$ es una solución de la ecuación homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$.

Demostración

(a)

Denotemos el lado izquierdo de las ecuaciones ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) como $L[y]$. Entonces, para cualquier solución $y$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y cualquier solución $\tilde{y}$ de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$, tenemos:

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

Para dos soluciones cualesquiera $y$ e $y^*$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$, tenemos:

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

La solución general incluye todas las soluciones posibles

Sabemos que para la ecuación homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), la solución general incluye todas las soluciones posibles. Demostremos que lo mismo se cumple para la ecuación no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$).

Teorema 2: La solución general de la ecuación no homogénea incluye todas las soluciones posibles
Si los coeficientes $p(x)$, $q(x)$ y la función de entrada $r(x)$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) son continuos en un intervalo abierto $I$, entonces cualquier solución de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$ puede obtenerse asignando valores apropiados a las constantes arbitrarias $c_1$ y $c_2$ en $y_h$ de la solución general ($\ref{eqn:general_sol}$).

Demostración

Sea $y^*$ cualquier solución de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$, y sea $x_0$ cualquier punto en $I$. Por el teorema de existencia de la solución general para ecuaciones homogéneas con coeficientes continuos, existe $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$, y por el método de variación de parámetros (que estudiaremos más adelante), también existe $y_p$, por lo que la solución general ($\ref{eqn:general_sol}$) de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) existe en el intervalo $I$. Ahora, por el teorema 1(b) que acabamos de demostrar, $Y = y^* - y_p$ es una solución de la ecuación homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$, y en $x_0$:

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

Por el teorema de existencia y unicidad para problemas de valor inicial, existe una única solución particular $Y$ de la ecuación homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$ que satisface estas condiciones iniciales, y esta solución puede obtenerse asignando valores apropiados a $c_1$ y $c_2$ en $y_h$. Como $y^* = Y + y_p$, hemos demostrado que cualquier solución particular $y^*$ de la ecuación no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) puede obtenerse a partir de la solución general ($\ref{eqn:general_sol}$). $\blacksquare$