Las leyes del movimiento de Newton

TL;DR

Las leyes del movimiento de Newton (Newton’s laws of motion)

1. Un objeto permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza externa.
2. La tasa de cambio del momento lineal de un objeto es igual a la fuerza aplicada sobre él.
   • $\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$
3. Cuando dos objetos interactúan, las fuerzas que ejercen entre sí son iguales en magnitud y opuestas en dirección.
   • $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$

Principio de equivalencia (principle of equivalence)

• Masa inercial: La masa que determina la aceleración de un objeto cuando se le aplica una fuerza dada
• Masa gravitacional: La masa que determina la fuerza gravitacional entre un objeto y otros objetos
• Actualmente se sabe que la masa inercial y la masa gravitacional coinciden con un margen de error de alrededor de $10^{-12}$
• La afirmación de que la masa inercial y la masa gravitacional son exactamente iguales se conoce como el principio de equivalencia

Las leyes del movimiento de Newton

Las leyes del movimiento de Newton son tres leyes publicadas por Isaac Newton en 1687 en su obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural, abreviado como ‘Principia’), que forman la base de la mecánica newtoniana (Newtonian mechanics).

1. Un objeto permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza externa.
2. La tasa de cambio del momento lineal de un objeto es igual a la fuerza aplicada sobre él.
3. Cuando dos objetos interactúan, las fuerzas que ejercen entre sí son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

Primera ley de Newton

I. Un objeto permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza externa.

Un objeto en este estado, sin fuerzas externas actuando sobre él, se denomina cuerpo libre (free body) o partícula libre (free particle). Sin embargo, la primera ley por sí sola solo proporciona un concepto cualitativo de la fuerza.

Segunda ley de Newton

II. La tasa de cambio del momento lineal de un objeto es igual a la fuerza aplicada sobre él.

Newton definió el momento lineal (momentum) como el producto de la masa y la velocidad

\[\vec{p} \equiv m\vec{v} \label{eqn:momentum}\tag{1}\]

A partir de esto, la segunda ley de Newton se puede expresar como:

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \label{eqn:2nd_law}\tag{2}\]

La primera y segunda leyes de Newton, a pesar de su nombre, son en realidad más cercanas a una ‘definición’ de fuerza que a una ‘ley’. También se puede ver que la definición de fuerza depende de la definición de ‘masa’.

Tercera ley de Newton

III. Cuando dos objetos interactúan, las fuerzas que ejercen entre sí son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

Esta ley física también se conoce como la ‘ley de acción y reacción’, y se aplica cuando la fuerza que un objeto ejerce sobre otro está dirigida a lo largo de la línea que une los dos puntos de acción. Este tipo de fuerza se denomina fuerza central (central force), y la tercera ley se cumple independientemente de si la fuerza central es atractiva o repulsiva. La fuerza gravitacional o electrostática entre dos objetos en reposo, así como la fuerza elástica, son ejemplos de tales fuerzas centrales. Por otro lado, las fuerzas entre cargas en movimiento, la fuerza gravitacional entre objetos en movimiento, y otras fuerzas que dependen de la velocidad de los dos objetos que interactúan son fuerzas no centrales, y en estos casos no se puede aplicar la tercera ley.

Teniendo en cuenta la definición de masa que hemos visto anteriormente, podemos reformular la tercera ley de la siguiente manera:

III$^\prime$. Si dos objetos forman un sistema aislado ideal, sus aceleraciones son opuestas en dirección y la razón de sus magnitudes es igual a la razón inversa de las masas de los objetos.

Por la tercera ley de Newton,

\[\vec{F_1} = -\vec{F_2} \label{eqn:3rd_law}\tag{3}\]

y sustituyendo la segunda ley ($\ref{eqn:2nd_law}$) que vimos anteriormente,

\[\frac{d\vec{p_1}}{dt} = -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \label{eqn:3rd-1_law}\tag{4}\]

De esto podemos ver que el momento se conserva en la interacción aislada entre dos partículas.

\[\frac{d}{dt}(\vec{p_1}+\vec{p_2}) = 0 \label{eqn:conservation_of_momentum}\tag{5}\]

Además, en la ecuación ($\ref{eqn:3rd-1_law}$), como $\vec{p}=m\vec{v}$ y la masa $m$ es constante,

\[m_1\left(\frac{d\vec{v_1}}{dt} \right) = m_2\left(-\frac{d\vec{v_2}}{dt} \right) \tag{6a}\] \[m_1(\vec{a_1}) = m_2(-\vec{a_2}) \tag{6b}\]

obtenemos:

\[\frac{m_2}{m_1} = -\frac{a_1}{a_2}. \tag{7}\]

Sin embargo, aunque la tercera ley de Newton describe el caso en que dos objetos forman un sistema aislado, en realidad es imposible realizar tales condiciones ideales, por lo que la afirmación de Newton en la tercera ley podría considerarse bastante audaz. A pesar de ser una conclusión obtenida de observaciones limitadas, gracias a la profunda intuición física de Newton, la mecánica newtoniana mantuvo una posición sólida durante casi 300 años sin que se encontraran errores en las verificaciones experimentales. No fue hasta el siglo XX que se hicieron posibles mediciones lo suficientemente precisas como para mostrar diferencias entre las predicciones de la teoría de Newton y la realidad, lo que llevó al nacimiento de la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.

Masa inercial y masa gravitacional

Una forma de determinar la masa de un objeto es comparar su peso con un peso estándar utilizando una herramienta como una balanza. Este método se basa en el hecho de que el peso de un objeto en un campo gravitacional es igual a la magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre él, en cuyo caso la segunda ley $\vec{F}=m\vec{a}$ toma la forma $\vec{W}=m\vec{g}$. Este método se basa en la suposición fundamental de que la masa $m$ definida en III$^\prime$ es la misma que la masa $m$ que aparece en la ecuación gravitacional. Estas dos masas se denominan masa inercial (inertial mass) y masa gravitacional (gravitational mass) respectivamente, y se definen de la siguiente manera:

• Masa inercial: La masa que determina la aceleración de un objeto cuando se le aplica una fuerza dada
• Masa gravitacional: La masa que determina la fuerza gravitacional entre un objeto y otros objetos

Aunque es una historia inventada posteriormente y no tiene relación real con Galileo Galilei, el experimento de caída de la Torre de Pisa es un experimento mental que demostró por primera vez que la masa inercial y la masa gravitacional deberían ser iguales. Newton también intentó demostrar que no había diferencia entre las dos masas midiendo los períodos de péndulos de igual longitud pero con masas diferentes en sus extremos, pero su método experimental y precisión eran rudimentarios y no logró una demostración precisa.

A finales del siglo XIX, el físico húngaro Loránd Eötvös realizó el experimento de Eötvös para medir con precisión la diferencia entre la masa inercial y la masa gravitacional, demostrando su igualdad con una precisión considerable (dentro de un margen de error de 1 en 20 millones).

Experimentos más recientes realizados por Robert Henry Dicke y otros han aumentado aún más la precisión, y actualmente se sabe que la masa inercial y la masa gravitacional coinciden con un margen de error de alrededor de $10^{-12}$. Este resultado tiene un significado extremadamente importante en la teoría general de la relatividad, y la afirmación de que la masa inercial y la masa gravitacional son exactamente iguales se conoce como el principio de equivalencia (principle of equivalence).