Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
Examinamos la forma de la solución general de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes según el signo del discriminante de la ecuación característica.
TL;DR
- Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
- Ecuación característica: $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
- La forma de la solución general puede clasificarse en tres casos según el signo del discriminante $a^2 - 4b$ de la ecuación característica
Caso Raíces de la ecuación característica Base de soluciones Solución general I Raíces reales distintas
$\lambda_1$, $\lambda_2$$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$ $y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$ II Raíz real doble
$\lambda = -\cfrac{1}{2}a$$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$ $y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$ III Raíces complejas conjugadas
$\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$,
$\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$,
$e^{-ax/2}\sin{\omega x}$$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$
Prerrequisitos
- Ecuación de Bernoulli
- Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden
- Fórmula de Euler
Ecuación característica
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes $a$ y $b$:
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]Este tipo de ecuaciones tiene importantes aplicaciones en vibraciones mecánicas y eléctricas.
Como vimos anteriormente en la Ecuación de Bernoulli al resolver la ecuación logística, la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden con coeficiente constante $k$:
\[y^\prime + ky = 0\]es la función exponencial $y = ce^{-kx}$ (caso donde $A=-k$, $B=0$ en la ecuación (4) de ese artículo).
Por lo tanto, para una ecuación de forma similar como la ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), podemos intentar una solución de la forma:
\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]Por supuesto, esto es solo una conjetura y no hay garantía de que la solución general tenga realmente esta forma. Sin embargo, si logramos encontrar dos soluciones linealmente independientes, como vimos en Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden, podemos obtener la solución general mediante el principio de superposición.
Como veremos pronto, hay casos donde necesitamos encontrar soluciones de otra forma.
Sustituyendo la expresión ($\ref{eqn:general_sol}$) y sus derivadas:
\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]en la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), obtenemos:
\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]Por lo tanto, si $\lambda$ es una solución de la ecuación característica:
\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]entonces la función exponencial ($\ref{eqn:general_sol}$) es una solución de la ecuación diferencial ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). Resolviendo la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), obtenemos:
\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a - \sqrt{a^2 + 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]De esto, las dos funciones:
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]son soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).
Los términos ecuación característica y ecuación auxiliar se usan frecuentemente de manera intercambiable, y tienen exactamente el mismo significado. Cualquiera de los dos términos es aceptable.
Ahora, podemos clasificar los casos según el signo del discriminante $a^2 - 4b$ de la ecuación característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$):
- $a^2 - 4b > 0$: Dos raíces reales distintas
- $a^2 - 4b = 0$: Una raíz real doble
- $a^2 - 4b < 0$: Raíces complejas conjugadas
Forma de la solución general según el signo del discriminante de la ecuación característica
I. Raíces reales distintas $\lambda_1$ y $\lambda_2$
En este caso, la base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) en cualquier intervalo es:
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]y la solución general correspondiente es:
\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]II. Raíz real doble $\lambda = -\cfrac{a}{2}$
Cuando $a^2 - 4b = 0$, la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tiene una única solución $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, por lo que solo obtenemos una solución de la forma $y = e^{\lambda x}$:
\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]Para obtener una base, necesitamos encontrar una segunda solución $y_2$ que sea independiente de $y_1$.
En esta situación, podemos utilizar el método de reducción de orden que vimos anteriormente. Suponiendo que la segunda solución tiene la forma $y_2=uy_1$, y calculando:
\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]Sustituyendo en la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$):
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]Agrupando los términos con $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$ y $u$:
\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]Como $y_1$ es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), el último paréntesis es igual a $0$, y como:
\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]el primer paréntesis también es igual a $0$. Por lo tanto, solo queda $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, de donde $u^{\prime\prime}=0$. Integrando dos veces, obtenemos $u = c_1x + c_2$, y como las constantes de integración $c_1$ y $c_2$ pueden ser cualquier valor, podemos elegir simplemente $c_1=1$ y $c_2=0$, obteniendo $u=x$. Entonces $y_2 = uy_1 = xy_1$, y como $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes, forman una base. Por lo tanto, cuando la ecuación característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tiene una raíz doble, la base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) en cualquier intervalo es:
\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]y la solución general correspondiente es:
\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]III. Raíces complejas conjugadas $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ y $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$
En este caso, $a^2 - 4b < 0$ y $\sqrt{-1} = i$, por lo que en la ecuación ($\ref{eqn:lambdas}$):
\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]Definamos el número real $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.
Con esta definición de $\omega$, las soluciones de la ecuación característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) son las raíces complejas conjugadas $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, y las correspondientes soluciones complejas de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) son:
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]Sin embargo, también en este caso podemos obtener una base de soluciones reales de la siguiente manera.
Usando la fórmula de Euler:
\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]y sustituyendo $-t$ en lugar de $t$:
\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]Sumando y restando estas ecuaciones, obtenemos:
\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]La función exponencial compleja $e^z$ para una variable compleja $z = r + it$ con parte real $r$ y parte imaginaria $it$ se puede definir usando las funciones reales $e^r$, $\cos t$ y $\sin t$ como:
\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + i\sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]Si hacemos $r=-\cfrac{1}{2}ax$ y $t=\omega x$, podemos escribir:
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]Por el principio de superposición, la suma y los múltiplos constantes de estas soluciones complejas también son soluciones. Por lo tanto, sumando estas ecuaciones y multiplicando ambos lados por $\cfrac{1}{2}$, obtenemos la primera solución real $y_1$:
\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]De manera similar, restando la segunda ecuación de la primera y multiplicando ambos lados por $\cfrac{1}{2i}$, obtenemos la segunda solución real $y_2$:
\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]Como $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ no es constante, $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes en cualquier intervalo y por lo tanto forman una base de soluciones reales de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). De esto obtenemos la solución general:
\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(donde }A,\, B\text{ son constantes arbitrarias)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]