Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes

TL;DR

• Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
• Ecuación característica: $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
• La forma de la solución general se puede dividir en tres casos según el signo del discriminante $a^2 - 4b$ de la ecuación característica, como se muestra en la tabla

Caso	Soluciones de la ecuación característica	Base de soluciones de la EDO	Solución general de la EDO
I	Raíces reales distintas $\lambda_1$, $\lambda_2$	$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$	$y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$
II	Raíz real doble $\lambda = -\cfrac{1}{2}a$	$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$	$y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$
III	Raíces complejas conjugadas $\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$, $\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$	$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$ $e^{-ax/2}\sin{\omega x}$	$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$

Prerrequisitos

• Ecuación de Bernoulli
• Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden
• Fórmula de Euler

Ecuación característica

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes $a$ y $b$

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]

Este tipo de ecuación tiene importantes aplicaciones en vibraciones mecánicas y eléctricas.

Anteriormente, en la ecuación de Bernoulli, obtuvimos la solución general de la ecuación logística, y según eso, la solución de la ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden con coeficiente constante $k$

\[y^\prime + ky = 0\]

es la función exponencial $y = ce^{-kx}$. (En el caso donde $A=-k$, $B=0$ en la ecuación (4) de ese artículo)

Por lo tanto, para una ecuación de forma similar como ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), podemos intentar primero una solución de la forma

\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]

Por supuesto, esto es solo una conjetura y no hay garantía de que la solución general realmente tenga esta forma. Sin embargo, si logramos encontrar dos soluciones linealmente independientes, como vimos en ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden, podemos obtener la solución general por el principio de superposición.
Como veremos en breve, hay casos donde necesitamos encontrar soluciones de otra forma.

Sustituyendo la ecuación ($\ref{eqn:general_sol}$) y sus derivadas

\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]

en la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), obtenemos

\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]

Por lo tanto, si $\lambda$ es una solución de la ecuación característica

\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]

entonces la función exponencial ($\ref{eqn:general_sol}$) es una solución de la ecuación diferencial ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). Resolviendo la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), obtenemos

\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 + 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]

y de esto, las dos funciones

\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]

son soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).

Ahora, podemos dividir los casos en tres según el signo del discriminante $a^2 - 4b$ de la ecuación característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$):

• $a^2 - 4b > 0$: Dos raíces reales distintas
• $a^2 - 4b = 0$: Una raíz real doble
• $a^2 - 4b < 0$: Raíces complejas conjugadas

Forma de la solución general según el signo del discriminante de la ecuación característica

I. Dos raíces reales distintas $\lambda_1$ y $\lambda_2$

En este caso, la base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) en cualquier intervalo es

\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]

y la solución general correspondiente es

\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]

II. Raíz real doble $\lambda = -\cfrac{a}{2}$

Cuando $a^2 - 4b = 0$, la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tiene solo una solución $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, y por lo tanto, la única solución de la forma $y = e^{\lambda x}$ que podemos obtener es

\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]

Para obtener una base, necesitamos encontrar una segunda solución $y_2$ independiente de $y_1$ de una forma diferente.

En esta situación, podemos utilizar el método de reducción de orden que vimos anteriormente. Ponemos la segunda solución que buscamos como $y_2=uy_1$, y

\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]

Sustituyendo esto en la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), obtenemos

\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]

Agrupando los términos con $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$, y $u$, obtenemos

\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]

Aquí, como $y_1$ es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), la expresión dentro del último paréntesis es 0, y

\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]

por lo que la expresión dentro del primer paréntesis también es 0. Por lo tanto, solo queda $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, de lo cual $u^{\prime\prime}=0$. Integrando dos veces, obtenemos $u = c_1x + c_2$, y como las constantes de integración $c_1$ y $c_2$ pueden ser cualquier valor, podemos simplemente elegir $c_1=1$, $c_2=0$ y poner $u=x$. Entonces $y_2 = uy_1 = xy_1$, y como $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes, forman una base. Por lo tanto, cuando la ecuación característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tiene una raíz doble, la base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) en cualquier intervalo es

\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]

y la solución general correspondiente es

\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]

III. Raíces complejas conjugadas $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ y $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$

En este caso, $a^2 - 4b < 0$ y $\sqrt{-1} = i$, por lo que en la ecuación ($\ref{eqn:lambdas}$)

\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]

y definamos el número real $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.

Con $\omega$ definido así, las soluciones de la ecuación característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) son las raíces complejas conjugadas $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, y las dos soluciones complejas correspondientes de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) son

\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]

Sin embargo, en este caso también podemos obtener una base de soluciones reales de la siguiente manera.

La fórmula de Euler

\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]

y la ecuación obtenida sustituyendo $-t$ en lugar de $t$ en la ecuación anterior

\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]

Sumando y restando estas dos ecuaciones, obtenemos

\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]

La función exponencial compleja $e^z$ de una variable compleja $z = r + it$ con parte real $r$ y parte imaginaria $it$ se puede definir usando las funciones reales $e^r$, $\cos t$ y $\sin t$ de la siguiente manera:

\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + \sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]

Si ponemos $r=-\cfrac{1}{2}ax$, $t=\omega x$, podemos escribir

\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]

Por el principio de superposición, la suma y el producto por una constante de estas soluciones complejas también son soluciones. Por lo tanto, sumando las dos ecuaciones y multiplicando ambos lados por $\cfrac{1}{2}$, podemos obtener la primera solución real $y_1$ de la siguiente manera:

\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]

De manera similar, restando la segunda ecuación de la primera y multiplicando ambos lados por $\cfrac{1}{2i}$, podemos obtener la segunda solución real $y_2$:

\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]

Como $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ y esto no es constante, $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes en todos los intervalos y por lo tanto forman una base de soluciones reales de la ecuación ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). De esto obtenemos la solución general

\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(}A,\, B\text{ son constantes arbitrarias)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]