Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden

TL;DR

• Forma estándar de una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden: $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$
  • Coeficientes: funciones $p$, $q$
  • Entrada: $r(x)$
  • Salida o respuesta: $y(x)$
• Homogénea y no homogénea
  • Homogénea: cuando $r(x)\equiv0$ en la forma estándar
  • No homogénea: cuando $r(x)\not\equiv 0$ en la forma estándar
• Principio de superposición: Para una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, cualquier combinación lineal de dos soluciones en un intervalo abierto $I$ es también una solución de la ecuación dada. Es decir, la suma y el producto por una constante de cualquier solución de la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea dada también son soluciones de dicha ecuación.
• Base o sistema fundamental: Un par de soluciones $(y_1, y_2)$ linealmente independientes en el intervalo $I$ de la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea
• Reducción de orden: Si se puede encontrar una solución para una ecuación diferencial ordinaria homogénea de segundo orden, se puede encontrar una segunda solución linealmente independiente, es decir, una base, resolviendo una ecuación diferencial de primer orden
• Aplicaciones de la reducción de orden: Una ecuación diferencial de segundo orden general $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, ya sea lineal o no lineal, puede reducirse a primer orden utilizando la reducción de orden en los siguientes casos:
  • Cuando $y$ no aparece explícitamente
  • Cuando $x$ no aparece explícitamente
  • Cuando es lineal homogénea y ya se conoce una solución

Prerrequisitos

• Conceptos básicos de modelado
• Separación de variables
• Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es lineal si se puede escribir en la forma

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:standard_form}\tag{1}\]

y no lineal en caso contrario.

Cuando $p$, $q$, $r$ son funciones de $x$, esta ecuación es lineal en $y$ y sus derivadas.

La forma ($\ref{eqn:standard_form}$) se conoce como la forma estándar de una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Si el primer término de una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden dada es $f(x)y^{\prime\prime}$, se puede obtener la forma estándar dividiendo ambos lados de la ecuación por $f(x)$.

Las funciones $p$, $q$ se denominan coeficientes, $r(x)$ se llama entrada, y $y(x)$ es la salida o respuesta a la entrada y las condiciones iniciales.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden

Sea $J$ el intervalo $a<x<b$ donde queremos resolver la ecuación ($\ref{eqn:standard_form}$). Si $r(x)\equiv 0$ en $J$ en la ecuación ($\ref{eqn:standard_form}$), tenemos

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

y se dice que es homogénea.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas

Si $r(x)\not\equiv 0$ en el intervalo $J$, se dice que es no homogénea.

Principio de superposición

Una función de la forma

\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \quad \text{(}c_1, c_2\text{ son constantes arbitrarias)}\tag{3}\]

se llama combinación lineal de $y_1$ y $y_2$.

En este caso, se cumple lo siguiente:

Principio de superposición Para una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), cualquier combinación lineal de dos soluciones en un intervalo abierto $I$ es también una solución de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$). Es decir, la suma y el producto por una constante de cualquier solución de la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea dada también son soluciones de dicha ecuación.

Demostración

Supongamos que $y_1$ y $y_2$ son soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$. Sustituyendo $y=c_1y_1+c_2y_2$ en la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$):

\[\begin{align*} y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy &= (c_1y_1+c_2y_2)^{\prime\prime} + p(c_1y_1+c_2y_2)^{\prime} + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1y_1^{\prime\prime} + c_2y_2^{\prime\prime} + p(c_1y_1^{\prime} + c_2y_2^{\prime}) + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1(y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1) + c_2(y_2^{\prime\prime} + py_2^{\prime} + qy_2) \\ &= 0 \end{align*}\]

se obtiene una identidad. Por lo tanto, $y$ es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$. $\blacksquare$

Hay que tener en cuenta que el principio de superposición solo se aplica a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas, y no se cumple para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas o no lineales.

Base y solución general

Repaso de conceptos clave de ecuaciones diferenciales de primer orden

Como vimos anteriormente en Conceptos básicos de modelado, un problema de valor inicial para una ecuación diferencial de primer orden consiste en la ecuación diferencial y una condición inicial $y(x_0)=y_0$. La condición inicial es necesaria para determinar la constante arbitraria $c$ en la solución general de la ecuación diferencial dada, y la solución así determinada se llama solución particular. Ahora extendamos estos conceptos a ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Problema de valor inicial y condiciones iniciales

Un problema de valor inicial para la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) consiste en la ecuación diferencial dada ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) y dos condiciones iniciales

\[y(x_0) = K_0, \quad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:init_conditions}\tag{4}\]

Estas condiciones son necesarias para determinar las dos constantes arbitrarias $c_1$ y $c_2$ en la solución general de la ecuación diferencial

\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \label{eqn:general_sol}\tag{5}\]

Independencia lineal y dependencia lineal

Aquí, revisemos brevemente los conceptos de independencia lineal y dependencia lineal. Es necesario entender esto para definir la base más adelante.
Si para dos funciones $y_1$ y $y_2$ definidas en un intervalo $I$, se cumple que

\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{ y }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{6}\]

para todos los puntos del intervalo $I$, entonces se dice que estas dos funciones $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes en el intervalo $I$. En caso contrario, se dice que $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes.

Si $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes (es decir, si la proposición ($\ref{eqn:linearly_independent}$) no es verdadera), podemos dividir ambos lados de la ecuación en ($\ref{eqn:linearly_independent}$) por $k_1 \neq 0$ o $k_2 \neq 0$ para obtener

\[y_1 = - \frac{k_2}{k_1}y_2 \quad \text{o} \quad y_2 = - \frac{k_1}{k_2}y_2\]

lo que muestra que $y_1$ y $y_2$ son proporcionales.

Base, solución general, solución particular

Volviendo al tema, para que ($\ref{eqn:general_sol}$) sea la solución general, $y_1$ y $y_2$ deben ser soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) y al mismo tiempo ser linealmente independientes (no proporcionales entre sí) en el intervalo $I$. Un par $(y_1, y_2)$ de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) que son linealmente independientes en el intervalo $I$ y satisfacen estas condiciones se llama base o sistema fundamental de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$.

Al utilizar las condiciones iniciales para determinar las dos constantes $c_1$ y $c_2$ en la solución general ($\ref{eqn:general_sol}$), obtenemos una única solución que pasa por el punto $(x_0, K_0)$ y tiene una pendiente de tangente $K_1$ en ese punto. Esta se llama solución particular de la ecuación diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).

Si la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) es continua en un intervalo abierto $I$, siempre tiene una solución general, y esta solución general incluye todas las posibles soluciones particulares. Es decir, en este caso, la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no tiene soluciones singulares que no se puedan obtener de la solución general.

Reducción de orden

Si podemos encontrar una solución para una ecuación diferencial ordinaria homogénea de segundo orden, podemos encontrar una segunda solución linealmente independiente, es decir, una base, resolviendo una ecuación diferencial de primer orden de la siguiente manera. Este método se llama reducción de orden.

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden en forma estándar con $y^{\prime\prime}$ en lugar de $f(x)y^{\prime\prime}$:

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^\prime + q(x)y = 0\]

Supongamos que conocemos una solución $y_1$ de esta ecuación en un intervalo abierto $I$.

Ahora, pongamos la segunda solución que buscamos como $y_2 = uy_1$, y

\[\begin{align*} y &= y_2 = uy_1, \\ y^{\prime} &= y_2^{\prime} = u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y^{\prime\prime} &= y_2^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos

\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime}) + p(u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}) + quy_1 = 0 \tag{7}\]

Agrupando los términos con $u^{\prime\prime}$, $u^{\prime}$, $u$, obtenemos

\[y_1u^{\prime\prime} + (py_1+2y_1^{\prime})u^{\prime} + (y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1)u = 0\]

Sin embargo, como $y_1$ es una solución de la ecuación dada, la expresión entre paréntesis del último término es 0, por lo que el término con $u$ desaparece, quedando una ecuación diferencial en $u^{\prime}$ y $u^{\prime\prime}$. Dividiendo ambos lados de esta ecuación diferencial restante por $y_1$ y poniendo $u^{\prime}=U$, $u^{\prime\prime}=U^{\prime}$, obtenemos la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

\[U^{\prime} + \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) U = 0.\]

Separando variables e integrando, obtenemos

\[\begin{align*} \frac{dU}{U} &= - \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) dx \\ \ln|U| &= -2\ln|y_1| - \int p dx \end{align*}\]

y tomando la exponencial en ambos lados, finalmente obtenemos

\[U = \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx} \tag{8}\]

Como habíamos puesto $U=u^{\prime}$, tenemos que $u=\int U dx$, por lo que la segunda solución $y_2$ que buscábamos es

\[y_2 = uy_1 = y_1 \int U dx\]

Como $\cfrac{y_2}{y_1} = u = \int U dx$ no puede ser constante mientras $U>0$, $y_1$ y $y_2$ forman una base de soluciones.

Aplicaciones de la reducción de orden

Una ecuación diferencial de segundo orden general $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, ya sea lineal o no lineal, puede reducirse a primer orden utilizando la reducción de orden cuando $y$ no aparece explícitamente, cuando $x$ no aparece explícitamente, o como vimos antes, cuando es lineal homogénea y ya se conoce una solución.

Cuando $y$ no aparece explícitamente

En $F(x, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, poniendo $z=y^{\prime}$, se puede reducir a una ecuación diferencial de primer orden en $z$: $F(x, z, z^{\prime})$.

Cuando $x$ no aparece explícitamente

En $F(y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, poniendo $z=y^{\prime}$, tenemos $y^{\prime\prime} = \cfrac{d y^{\prime}}{dx} = \cfrac{d y^{\prime}}{dy}\cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dz}{dy}z$, por lo que se puede reducir a una ecuación diferencial de primer orden en $z$ donde $y$ juega el papel de la variable independiente $x$: $F(y,z,z^\prime)$.