EDOs Lineales Homogéneas de Segundo Orden (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
Se explora la definición y características de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) lineales de segundo orden. Se analiza el principio de superposición, un teorema clave para las EDOs lineales homogéneas, y el concepto de base asociado.
TL;DR
- Forma estándar de una EDO lineal de segundo orden: $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$
- Coeficientes: funciones $p$, $q$
- Entrada: $r(x)$
- Salida o respuesta: $y(x)$
- Homogénea y no homogénea
- Homogénea: cuando $r(x)\equiv0$ en la forma estándar
- No homogénea: cuando $r(x)\not\equiv 0$ en la forma estándar
- Principio de superposición: Para una EDO lineal homogénea $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, cualquier combinación lineal de dos soluciones en un intervalo abierto $I$ es también una solución de la ecuación dada. Es decir, la suma y el producto por una constante de cualquier solución de la EDO lineal homogénea dada también son soluciones de dicha ecuación.
- Base o sistema fundamental: Un par de soluciones $(y_1, y_2)$ linealmente independientes en el intervalo $I$ de la EDO lineal homogénea
- Reducción de orden: Si se puede encontrar una solución para una EDO homogénea de segundo orden, se puede encontrar una segunda solución linealmente independiente, es decir, una base, resolviendo una EDO de primer orden
- Aplicaciones de la reducción de orden: Una EDO de segundo orden general $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, ya sea lineal o no lineal, puede reducirse a primer orden utilizando la reducción de orden en los siguientes casos:
- Cuando $y$ no aparece explícitamente
- Cuando $x$ no aparece explícitamente
- Cuando es lineal homogénea y ya se conoce una solución
Prerrequisitos
EDOs lineales de segundo orden
Una ecuación diferencial de segundo orden es lineal si se puede escribir en la forma
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:standard_form}\tag{1}\]y no lineal en caso contrario.
Cuando $p$, $q$, $r$ son funciones de $x$, esta ecuación es lineal en $y$ y sus derivadas.
La forma ($\ref{eqn:standard_form}$) se conoce como la forma estándar de una EDO lineal de segundo orden. Si el primer término de una EDO lineal de segundo orden dada es $f(x)y^{\prime\prime}$, se puede obtener la forma estándar dividiendo ambos lados de la ecuación por $f(x)$.
Las funciones $p$, $q$ se denominan coeficientes, $r(x)$ se llama entrada, y $y(x)$ es la salida o respuesta a la entrada y las condiciones iniciales.
EDOs lineales homogéneas de segundo orden
Sea $J$ el intervalo $a<x<b$ donde queremos resolver la ecuación ($\ref{eqn:standard_form}$). Si $r(x)\equiv 0$ en $J$ en la ecuación ($\ref{eqn:standard_form}$), tenemos
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]y se dice que es homogénea.
EDOs lineales no homogéneas
Si $r(x)\not\equiv 0$ en el intervalo $J$, se dice que es no homogénea.
Principio de superposición
Una función de la forma
\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \quad \text{(}c_1, c_2\text{ son constantes arbitrarias)}\tag{3}\]se llama combinación lineal de $y_1$ y $y_2$.
En este caso, se cumple lo siguiente:
Principio de superposición
Para la EDO lineal homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), cualquier combinación lineal de dos soluciones en un intervalo abierto $I$ es también una solución de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$). Es decir, la suma y el producto por una constante de cualquier solución de la EDO lineal homogénea dada también son soluciones de dicha ecuación.
Demostración
Supongamos que $y_1$ y $y_2$ son soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$. Sustituyendo $y=c_1y_1+c_2y_2$ en la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$):
\[\begin{align*} y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy &= (c_1y_1+c_2y_2)^{\prime\prime} + p(c_1y_1+c_2y_2)^{\prime} + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1y_1^{\prime\prime} + c_2y_2^{\prime\prime} + p(c_1y_1^{\prime} + c_2y_2^{\prime}) + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1(y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1) + c_2(y_2^{\prime\prime} + py_2^{\prime} + qy_2) \\ &= 0 \end{align*}\]se obtiene una identidad. Por lo tanto, $y$ es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$. $\blacksquare$
Hay que tener en cuenta que el principio de superposición solo se aplica a EDOs lineales homogéneas, y no se cumple para EDOs lineales no homogéneas o no lineales.
Base y solución general
Repaso de conceptos clave de EDOs de primer orden
Como vimos anteriormente en Conceptos básicos de modelado, un problema de valor inicial (PVI) para una EDO de primer orden consiste en la EDO y una condición inicial $y(x_0)=y_0$. La condición inicial es necesaria para determinar la constante arbitraria $c$ en la solución general de la EDO, y la solución así determinada se llama solución particular. Ahora extendamos estos conceptos a las EDOs de segundo orden.
Problema de valor inicial y condiciones iniciales
Un problema de valor inicial (PVI) para una EDO homogénea de segundo orden ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) consiste en la EDO dada ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) y dos condiciones iniciales
\[y(x_0) = K_0, \quad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:init_conditions}\tag{4}\]Estas condiciones son necesarias para determinar las dos constantes arbitrarias $c_1$ y $c_2$ en la solución general de la EDO
\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \label{eqn:general_sol}\tag{5}\]Independencia lineal y dependencia lineal
Aquí, revisemos brevemente los conceptos de independencia lineal y dependencia lineal. Es necesario entender esto para definir la base más adelante.
Si para dos funciones $y_1$ y $y_2$ definidas en un intervalo $I$, se cumple que
para todos los puntos del intervalo $I$, entonces se dice que estas dos funciones $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes en el intervalo $I$. En caso contrario, se dice que $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes.
Si $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes (es decir, si la proposición ($\ref{eqn:linearly_independent}$) no es verdadera), podemos dividir ambos lados de la ecuación en ($\ref{eqn:linearly_independent}$) por $k_1 \neq 0$ o $k_2 \neq 0$ para obtener
\[y_1 = - \frac{k_2}{k_1}y_2 \quad \text{o} \quad y_2 = - \frac{k_1}{k_2}y_2\]lo que muestra que $y_1$ y $y_2$ son proporcionales.
Base, solución general, solución particular
Volviendo al tema, para que ($\ref{eqn:general_sol}$) sea la solución general, $y_1$ y $y_2$ deben ser soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) y al mismo tiempo ser linealmente independientes (no proporcionales entre sí) en el intervalo $I$. Un par $(y_1, y_2)$ de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) que son linealmente independientes en el intervalo $I$ y satisfacen estas condiciones se llama base o sistema fundamental de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$.
Al utilizar las condiciones iniciales para determinar las dos constantes $c_1$ y $c_2$ en la solución general ($\ref{eqn:general_sol}$), obtenemos una única solución que pasa por el punto $(x_0, K_0)$ y tiene una pendiente de tangente $K_1$ en ese punto. Esta se llama solución particular de la ecuación diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).
Si la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) es continua en un intervalo abierto $I$, siempre tiene una solución general, y esta solución general incluye todas las posibles soluciones particulares. Es decir, en este caso, la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no tiene soluciones singulares que no se puedan obtener de la solución general.
Reducción de orden
Si podemos encontrar una solución para una EDO lineal homogénea de segundo orden, podemos encontrar una segunda solución linealmente independiente, es decir, una base, resolviendo una EDO de primer orden de la siguiente manera. Este método se llama reducción de orden.
Consideremos una EDO lineal homogénea de segundo orden en forma estándar con $y^{\prime\prime}$ en lugar de $f(x)y^{\prime\prime}$:
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^\prime + q(x)y = 0\]Supongamos que conocemos una solución $y_1$ de esta ecuación en un intervalo abierto $I$.
Ahora, pongamos la segunda solución que buscamos como $y_2 = uy_1$, y
\[\begin{align*} y &= y_2 = uy_1, \\ y^{\prime} &= y_2^{\prime} = u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y^{\prime\prime} &= y_2^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]Sustituyendo en la ecuación, obtenemos
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime}) + p(u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}) + quy_1 = 0 \tag{7}\]Agrupando los términos con $u^{\prime\prime}$, $u^{\prime}$, $u$, obtenemos
\[y_1u^{\prime\prime} + (py_1+2y_1^{\prime})u^{\prime} + (y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1)u = 0\]Sin embargo, como $y_1$ es una solución de la ecuación dada, la expresión entre paréntesis del último término es 0, por lo que el término con $u$ desaparece, quedando una EDO en $u^{\prime}$ y $u^{\prime\prime}$. Dividiendo ambos lados de esta EDO restante por $y_1$ y poniendo $u^{\prime}=U$, $u^{\prime\prime}=U^{\prime}$, obtenemos la siguiente EDO de primer orden:
\[U^{\prime} + \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) U = 0.\]Separación de variables e integrando, obtenemos
\[\begin{align*} \frac{dU}{U} &= - \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) dx \\ \ln|U| &= -2\ln|y_1| - \int p dx \end{align*}\]y tomando la exponencial en ambos lados, finalmente obtenemos
\[U = \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx} \tag{8}\]Como habíamos puesto $U=u^{\prime}$, tenemos que $u=\int U dx$, por lo que la segunda solución $y_2$ que buscábamos es
\[y_2 = uy_1 = y_1 \int U dx\]Como $\cfrac{y_2}{y_1} = u = \int U dx$ no puede ser constante mientras $U>0$, $y_1$ y $y_2$ forman una base de soluciones.
Aplicaciones de la reducción de orden
Una EDO de segundo orden general $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, ya sea lineal o no lineal, puede reducirse a primer orden utilizando la reducción de orden cuando $y$ no aparece explícitamente, cuando $x$ no aparece explícitamente, o como vimos antes, cuando es lineal homogénea y ya se conoce una solución.
Cuando $y$ no aparece explícitamente
En $F(x, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, poniendo $z=y^{\prime}$, se puede reducir a una EDO de primer orden en $z$: $F(x, z, z^{\prime})$.
Cuando $x$ no aparece explícitamente
En $F(y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, poniendo $z=y^{\prime}$, tenemos $y^{\prime\prime} = \cfrac{d y^{\prime}}{dx} = \cfrac{d y^{\prime}}{dy}\cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dz}{dy}z$, por lo que se puede reducir a una EDO de primer orden en $z$ donde $y$ juega el papel de la variable independiente $x$: $F(y,z,z^\prime)$.