Ecuación de Euler-Cauchy

TL;DR

• Ecuación de Euler-Cauchy: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Ecuación auxiliar: $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• Según el signo del discriminante de la ecuación auxiliar $(1-a)^2 - 4b$, la forma de la solución general se puede clasificar en tres casos como se muestra en la tabla

Caso	Soluciones de la ecuación auxiliar	Base de soluciones de la ecuación de Euler-Cauchy	Solución general de la ecuación de Euler-Cauchy
I	Raíces reales distintas $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	Raíz real doble $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	Raíces complejas conjugadas $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Prerequisites

• Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden
• Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
• Fórmula de Euler

Ecuación auxiliar

La ecuación de Euler-Cauchy es una ecuación diferencial ordinaria de la forma

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]

donde $a$ y $b$ son constantes dadas y $y(x)$ es la función desconocida. Si sustituimos en la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]

obtenemos

\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]

es decir

\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]

De aquí obtenemos la ecuación auxiliar

\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]

y la condición necesaria y suficiente para que $y=x^m$ sea una solución de la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) es que $m$ sea una solución de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

Resolviendo la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$), obtenemos

\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]

y de aquí, las dos funciones

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

son soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).

Al igual que en ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, podemos dividir los casos en tres según el signo del discriminante $(1-a)^2 - 4b$ de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$):

• $(1-a)^2 - 4b > 0$: dos raíces reales distintas
• $(1-a)^2 - 4b = 0$: una raíz real doble
• $(1-a)^2 - 4b < 0$: raíces complejas conjugadas

Forma de la solución general según el signo del discriminante de la ecuación auxiliar

I. Dos raíces reales distintas $m_1$ y $m_2$

En este caso, la base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) en cualquier intervalo es

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

y la solución general correspondiente es

\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]

II. Raíz real doble $m = \cfrac{1-a}{2}$

Cuando $(1-a)^2 - 4b = 0$, es decir, $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) tiene una única solución $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, y por lo tanto, la única solución de la forma $y = x^m$ que podemos obtener es

\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]

y la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) toma la forma

\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]

Ahora, encontremos otra solución linealmente independiente $y_2$ utilizando el método de reducción de orden.

Si ponemos la segunda solución buscada como $y_2=uy_1$, obtenemos

\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]

Como $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, tenemos

\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]

y al integrar obtenemos $u = \ln x$.

Por lo tanto, $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, y $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes ya que su cociente no es constante. La solución general correspondiente a la base $y_1$ y $y_2$ es

\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]

III. Raíces complejas conjugadas

En este caso, las soluciones de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) son $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, y las dos soluciones complejas correspondientes de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) se pueden escribir, utilizando que $x=e^{\ln x}$, como:

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]

Si ponemos $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ y utilizamos la fórmula de Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, obtenemos

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]

y de aquí obtenemos las dos soluciones reales

\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]

Como su cociente $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ no es constante, estas dos soluciones son linealmente independientes y, por lo tanto, por el principio de superposición, forman una base para las soluciones de la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). De aquí obtenemos la siguiente solución general real:

\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]

Sin embargo, el caso en que la ecuación auxiliar de la ecuación de Euler-Cauchy tiene raíces complejas conjugadas no tiene tanta importancia práctica.