Ecuación de Euler-Cauchy

TL;DR

• Ecuación de Euler-Cauchy: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Ecuación auxiliar: $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• La forma de la solución general puede clasificarse en tres casos según el signo del discriminante $(1-a)^2 - 4b$ de la ecuación auxiliar

Caso	Raíces de la ecuación auxiliar	Base de soluciones de la ecuación de Euler-Cauchy	Solución general de la ecuación de Euler-Cauchy
I	Raíces reales distintas $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	Raíz real doble $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	Raíces complejas conjugadas $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Prerequisites

• Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden
• Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
• Fórmula de Euler

Ecuación auxiliar

La ecuación de Euler-Cauchy es una ecuación diferencial de la forma

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]

donde $a$ y $b$ son constantes dadas y $y(x)$ es la función desconocida. Si sustituimos en la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]

obtenemos

\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]

es decir

\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]

De aquí obtenemos la ecuación auxiliar

\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]

y la condición necesaria y suficiente para que $y=x^m$ sea solución de la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) es que $m$ sea solución de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

Las soluciones de la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) son

\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]

y por tanto, las dos funciones

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

son soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).

Al igual que en las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, podemos clasificar los casos según el signo del discriminante $(1-a)^2 - 4b$ de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$):

• $(1-a)^2 - 4b > 0$: dos raíces reales distintas
• $(1-a)^2 - 4b = 0$: una raíz real doble
• $(1-a)^2 - 4b < 0$: raíces complejas conjugadas

Forma de la solución general según el signo del discriminante de la ecuación auxiliar

I. Dos raíces reales distintas $m_1$ y $m_2$

En este caso, la base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) en cualquier intervalo es

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

y la solución general es

\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]

II. Raíz real doble $m = \cfrac{1-a}{2}$

Cuando $(1-a)^2 - 4b = 0$, es decir, $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) tiene una única solución $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, por lo que obtenemos una solución de la forma $y = x^m$:

\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]

y la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) se convierte en

\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]

Ahora buscaremos una segunda solución linealmente independiente $y_2$ utilizando el método de reducción de orden.

Si ponemos la segunda solución como $y_2=uy_1$, tenemos

\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]

Como $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, tenemos

\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]

y al integrar obtenemos $u = \ln x$.

Por tanto, $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, y $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes ya que su cociente no es constante. La solución general es

\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]

III. Raíces complejas conjugadas

En este caso, las soluciones de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) son $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, y las dos soluciones complejas correspondientes de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) pueden escribirse, usando que $x=e^{\ln x}$, como:

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]

Si ponemos $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ y utilizamos la fórmula de Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, obtenemos

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]

De aquí obtenemos las dos soluciones reales

\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]

Como su cociente $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ no es constante, estas dos soluciones son linealmente independientes y forman una base de soluciones de la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) según el principio de superposición. La solución general es:

\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]

Cabe señalar que el caso de raíces complejas conjugadas en la ecuación de Euler-Cauchy no tiene tanta importancia práctica.

Transformación a ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes

La ecuación de Euler-Cauchy puede transformarse en una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes mediante un cambio de variable.

Si hacemos la sustitución $x = e^t$, tenemos

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

y la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) se transforma en la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes en la variable $t$:

\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]

Resolviendo la ecuación ($\ref{eqn:substituted}$) mediante los métodos para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes y sustituyendo después $t = \ln{x}$, obtenemos los mismos resultados que vimos anteriormente.