Solución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Ecuación diferencial lineal de primer orden

Si una ecuación diferencial de primer orden puede ser llevada algebraicamente a la forma

\[y'+p(x)y=r(x) \tag{1}\]

se dice que es lineal, y si no, se dice que es no lineal.

La forma de la ecuación (1) se llama forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden, y si el primer término de una ecuación diferencial lineal de primer orden dada es $f(x)y’$, se puede obtener la forma estándar dividiendo ambos lados de la ecuación por $f(x)$.

En ingeniería, a menudo se llama a $r(x)$ la entrada (input), y a $y(x)$ la salida (output) o la respuesta (response) a la entrada (y las condiciones iniciales).

Ecuación diferencial lineal homogénea

Sea $J$ el intervalo $a<x<b$ en el que queremos resolver la ecuación (1). Si $r(x)\equiv 0$ para el intervalo $J$ en la ecuación (1), entonces

\[y'+p(x)y=0 \tag{2}\]

y se dice que es homogénea. En este caso, podemos usar el método de separación de variables.

\[\frac{dy}{y} = -p(x)dx\] \[\log |y| = -\int p(x)dx + c^*\] \[y(x) = ce^{-\int p(x)dx} \tag{3}\]

Cuando $c=0$, obtenemos la solución trivial $y(x)=0$.

Ecuación diferencial lineal no homogénea

Si $r(x)\not\equiv 0$ en el intervalo $J$, se dice que es no homogénea. Se sabe que la ecuación diferencial lineal no homogénea (1) tiene un factor integrante que depende solo de $x$. Este factor integrante $F(x)$ se puede encontrar usando la ecuación (11) del método para encontrar factores integrantes, o se puede encontrar directamente de la siguiente manera.

Multiplicando la ecuación (1) por $F(x)$, obtenemos

\[Fy'+pFy=rF \tag{1*}\]

Si

\[pF=F'\]

entonces el lado izquierdo de la ecuación (1*) se convierte en la derivada $(Fy)’=F’y+Fy’$. Separando variables en $pF=F’$, tenemos $dF/F=p\ dx$, y al integrar y escribir $h=\int p\ dx$, obtenemos

\[\log |F|=h=\int p\ dx\] \[F = e^h\]

Sustituyendo en la ecuación (1*),

\[e^hy'+h'e^hy=e^hy'+(e^h)'=(e^hy)'=re^h\]

Integrando,

\(e^hy=\int e^hr\ dx + c\) y dividiendo por $e^h$, obtenemos la fórmula de solución deseada.

\[y(x)=e^{-h}\left(\int e^hr\ dx + c\right),\qquad h=\int p(x)\ dx \tag{4}\]

Aquí, la constante de integración en $h$ no es un problema.

En la ecuación (4), el único valor que depende de la condición inicial dada es $c$, por lo que si escribimos la ecuación (4) como la suma de dos términos

\[y(x)=e^{-h}\int e^hr\ dx + ce^{-h} \tag{4*}\]

podemos ver que:

\[\text{Salida total}=\text{Respuesta a la entrada }r+\text{Respuesta a la condición inicial} \tag{5}\]

Ejemplo: Circuito RL

Supongamos que un circuito RL está compuesto por una batería con una fuerza electromotriz $E=48\textrm{V}$, una resistencia $R=11\mathrm{\Omega}$, y un inductor $L=0.1\text{H}$, y que la corriente inicial es 0. Encuentra el modelo de este circuito RL y resuelve la ecuación diferencial resultante para la corriente $I(t)$.

Ley de Ohm
La corriente $I$ en el circuito causa una caída de tensión $RI$ en los terminales de la resistencia.

Ley de inducción electromagnética de Faraday
La corriente $I$ en el circuito causa una caída de tensión $LI’=L\ dI/dt$ en los terminales del inductor.

Ley de voltajes de Kirchhoff (KVL)
La fuerza electromotriz aplicada a un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de tensión en todos los demás elementos del circuito.

Solución

Según estas leyes, el modelo del circuito RL es $LI’+RI=E(t)$, y en forma estándar es

\[I'+\frac{R}{L}I=\frac{E(t)}{L} \tag{6}\]

Podemos resolver esta ecuación diferencial lineal usando la ecuación (4) con $x=t, y=I, p=R/L, h=(R/L)t$.

\[I=e^{-(R/L)t}\left(\int e^{(R/L)t} \frac{E(t)}{L}dt+c\right)\] \[I=e^{-(R/L)t}\left(\frac{E}{L}\frac{e^{(R/L)t}}{R/L}+c\right)=\frac{E}{R}+ce^{-(R/L)t} \tag{7}\]

Aquí, $R/L=11/0.1=110$ y $E(t)=48$, por lo que

\[I=\frac{48}{11}+ce^{-110t}\]

De la condición inicial $I(0)=0$, obtenemos $I(0)=E/R+c=0$, $c=-E/R$. A partir de esto, podemos encontrar la siguiente solución particular:

\[I=\frac{E}{R}(1-e^{-(R/L)t}) \tag{8}\] \[\therefore I=\frac{48}{11}(1-e^{-110t})\]