Atenuación de neutrones y recorrido libre medio (Mean Free Path)

Atenuación de neutrones (Neutron Attenuation)

Un haz de neutrones monoenergético de intensidad $I_0$ se irradia sobre un objetivo de espesor $X$, y a cierta distancia detrás del objetivo se coloca un detector de neutrones. Supongamos que tanto el objetivo como el detector son muy pequeños, y que el detector tiene un ángulo sólido pequeño que solo puede detectar una parte de los neutrones que salen del objetivo. Entonces, todos los neutrones que colisionan con el objetivo serán absorbidos o dispersados en otras direcciones, por lo que solo los neutrones que no interactúan con el objetivo incidirán en el detector.

Sea $I(x)$ la intensidad del haz de neutrones que permanece sin colisionar después de recorrer una distancia $x$ dentro del objetivo. Cuando el haz de neutrones pasa a través de un objetivo de espesor muy delgado $\tau$, el número de colisiones por unidad de área es $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[neutrones/cm}^2\cdot\text{s]}$ (ver ecuaciones (1) y (4) en Interacciones de neutrones y secciones eficaces), por lo que la disminución en la intensidad del haz de neutrones mientras avanza una distancia $dx$ dentro del objetivo es la siguiente:

\[-dI = \sigma_t IN dx = \Sigma_t I dx \tag{1}\]

Integrando esta ecuación, obtenemos el siguiente resultado:

\[\frac{dI}{I} = -\Sigma_t dx\] \[I(x) = I_0e^{-\Sigma_t x} \tag{2}\]

Por lo tanto, podemos ver que la intensidad del haz de neutrones disminuye exponencialmente a medida que aumenta la distancia de penetración en el objetivo.

Recorrido libre medio (Mean Free Path)

• La distancia promedio que un neutrón recorre después de colisionar con un núcleo antes de colisionar con otro núcleo
• Es decir, la distancia promedio que un neutrón avanza sin colisionar
• Se denota con el símbolo $\lambda$

$I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ representa la probabilidad de que un neutrón no colisione con un núcleo mientras avanza una distancia $x$ dentro del medio. Por lo tanto, la probabilidad $p(x)dx$ de que un neutrón avance sin colisionar hasta una distancia $x$ y luego colisione dentro de una distancia $dx$ es la siguiente:

\[\begin{align*} p(x)dx &= \frac{I(x)}{I_0} \Sigma_t dx \\ &= e^{-\Sigma_t x}\times \Sigma_t dx \\ &= \Sigma_t e^{-\Sigma_t x}dx \end{align*}\]

A partir de esto, podemos calcular el recorrido libre medio (mean free path) $\lambda$ de la siguiente manera:

\[\begin{align*} \lambda &= \int_0^\infty xp(x)dx \\ &= \Sigma_t \int_0^\infty xe^{-\Sigma_t x}dx \\ &= \Sigma_t \left(\left[-\frac{1}{\Sigma_t}xe^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty +\int_0^\infty \frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right) \\ &= \left[-\frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty \\ &= 1/\Sigma_t \tag{3} \end{align*}\]