Ecuación Diferencial Exacta y Factor Integrante

TL;DR

flowchart TD
	ODE[Se da una ecuación diferencial ordinaria que podría ser exacta]
	IsExact{¿Es exacta?}

	ODE --> IsExact

	Solve[Aplicar el método de resolución para ecuaciones diferenciales exactas]
	CheckR{Verificar R y R*}

	IsExact -->|Si es exacta| Solve
	IsExact -->|Si no es exacta| CheckR

	DetermineFactor[Determinar el factor integrante]
	fail[Intentar otro método de resolución]

	CheckR -->|"Si existe una función de una variable R(x) o R*(y)"| DetermineFactor
	CheckR --->|Si no se puede encontrar un factor integrante de una variable| fail
	DetermineFactor --> Solve

Ecuación Diferencial Exacta

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden $M(x,y)+N(x,y)y’=0$ se puede escribir como:

\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \tag{1}\]

Si existe

\[\exists u(x,y): \frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y) \land \frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y) \tag{2}\]

entonces

\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=du \tag{3}\]

y en este caso, la ecuación diferencial ordinaria $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ se llama ecuación diferencial exacta. Entonces, esta ecuación diferencial ordinaria se puede escribir como:

\[du=0\]

y al integrar, obtenemos inmediatamente la solución general en la forma:

\[u(x,y)=c \tag{4}\]

Determinación de una Ecuación Diferencial Exacta

Supongamos que en una región cerrada del plano $xy$, con una curva cerrada que no se interseca a sí misma como frontera, $M$ y $N$ y sus derivadas parciales de primer orden son continuas. Revisando la condición (2) nuevamente, tenemos:

\[\begin{align*} \frac {\partial u}{\partial x}&=M(x,y) \tag{2a} \\ \frac {\partial u}{\partial y}&=N(x,y) \tag{2b} \end{align*}\]

Diferenciando parcialmente estas ecuaciones:

\[\begin{align*} \frac {\partial M}{\partial y} &= \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \\ \frac {\partial N}{\partial x} &= \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \end{align*}\]

Dado que asumimos continuidad, las dos derivadas parciales de segundo orden son iguales.

\[\therefore \frac {\partial M}{\partial y}=\frac {\partial N}{\partial x} \tag{5}\]

Por lo tanto, podemos ver que la condición (5) es una condición necesaria para que la ecuación diferencial ordinaria (1) sea exacta, y aunque no lo hemos demostrado aquí, de hecho, también es una condición suficiente. Es decir, podemos determinar si una ecuación diferencial es exacta verificando si cumple esta condición.

Resolución de una Ecuación Diferencial Exacta

Si integramos la ecuación (2a) con respecto a $x$, considerando $y$ como una constante, obtenemos:

\[u = \int M(x,y) dx + k(y) \tag{6}\]

Aquí, $k(y)$ actúa como una constante de integración, ya que consideramos $y$ como una constante. Ahora, diferenciamos la ecuación (6) con respecto a $y$, considerando $x$ como una constante, para obtener $\partial u/\partial y$:

\[\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + \frac{dk}{dy}\]

Ahora comparamos esta ecuación con (2b) para determinar $dk/dy$:

\[\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + \frac{dk}{dy} = N(x,y)\] \[\frac{dk}{dy} = N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx\]

Finalmente, integramos esta ecuación para determinar $k(y)$, la sustituimos en la ecuación (6), y obtenemos la solución implícita $u(x,y)=c$:

\[k(y) = \int N(x,y)dy - \int \left(\frac{\partial}{\partial y}\int Mdx\right)dy + c^*\] \[\int M(x,y)dx + \int N(x,y)dy - \int \left(\frac{\partial}{\partial y}\int Mdx\right)dy = c\]

Es más importante entender el proceso de resolución que memorizar esta forma general de la solución como una fórmula.

Factor Integrante

Supongamos que se nos da una ecuación diferencial inexacta:

\[P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 \quad \left( \frac {\partial P}{\partial y} \neq \frac {\partial Q}{\partial x} \right) \tag{7}\]

Si existe

\[\exists F(x,y): \frac {\partial}{\partial y}(FP) = \frac {\partial}{\partial x}(FQ) \tag{8}\]

entonces podemos multiplicar la ecuación diferencial dada (7) por la función $F$ para obtener la siguiente ecuación diferencial exacta:

\[FP\ dx+FQ\ dy = 0 \tag{9}\]

En este caso, la función $F(x,y)$ se llama factor integrante de la ecuación (7).

Método para Encontrar el Factor Integrante

Aplicando la regla del producto a la ecuación (8) y usando subíndices para denotar derivadas parciales, obtenemos:

\[F_y P + FP_y = F_x Q + FQ_x\]

En muchos casos prácticos, existe un factor integrante que depende de una sola variable. Si $F=F(x)$, entonces $F_y=0$ y $F_x=F’=dF/dx$, lo que nos lleva a:

\[FP_y = F'Q + FQ_x\]

Dividiendo ambos lados por $FQ$ y reorganizando los términos:

\[\begin{align*} \frac{1}{F} \frac{dF}{dx} &= \frac{P_y}{Q} - \frac{Q_x}{Q} \\ &= \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} \right) \end{align*} \tag{10}\]

Por lo tanto, se cumple lo siguiente:

Para la ecuación diferencial dada (7), si el lado derecho de la ecuación (10), $R$, es una función solo de $x$, entonces la ecuación (7) tiene un factor integrante $F=F(x)$.

\[F(x)=e^{\int R(x)dx}, \quad \text{donde }R=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} \right) \tag{11}\]

De manera similar, si $F^*=F^*(y)$, en lugar de la ecuación (10) obtenemos:

\[\frac{1}{F^*} \frac{dF^*}{dy} = \frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \tag{12}\]

Por lo tanto, se cumple lo siguiente:

Para la ecuación diferencial dada (7), si el lado derecho de la ecuación (12), $R^*$, es una función solo de $y$, entonces la ecuación (7) tiene un factor integrante $F^*=F^*(y)$.

\[F^*(y)=e^{\int R^*(y)dy}, \quad \text{donde }R^*=\frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \tag{13}\]