Cálculo del equilibrio radiactivo

TL;DR

Actividad en un tiempo t arbitrario

\[\begin{align*} \alpha (t) &= \lambda n(t) \\ &= \alpha_0 e^{-\lambda t} \\ &= \alpha_0 e^{-0.693t/T_{1/2}} \end{align*}\]

Relación entre la constante de desintegración, la vida media y la vida promedio

\[\begin{align*} T_{1/2}&=\frac {\ln 2}{\lambda} = \frac {0.693}{\lambda} \\ \\ \overline{t}&=\frac {1}{\lambda} \\ &=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \end{align*}\]

Constante de desintegración (Decay Constant)

• La probabilidad de que un núcleo se desintegre por unidad de tiempo
• Una constante independiente del tiempo, determinada solo por el tipo de núclido
• Representada por el símbolo $\lambda$

Radiactividad (Radioactivity)

Si el número de núcleos que aún no se han desintegrado en el tiempo $t$ es n(t), entonces durante el intervalo $dt$ entre $t$ y $t+dt$, en promedio $\lambda n(t)$ núcleos se desintegran. Esta tasa de desintegración se llama radiactividad de la muestra y se representa con el símbolo $\alpha$. Por lo tanto, la radiactividad en un tiempo $t$ dado es:

\[\alpha (t)=\lambda n(t) \tag{1}\]

Unidades de radiactividad

Curie (Ci)

• Unidad utilizada tradicionalmente antes del uso del becquerel
• La radiactividad de 1g de radio-226
• $3.7\times 10^{10}$ desintegraciones nucleares por segundo ($3.7\times 10^{10}\text{Bq}$)

Becquerel (Bq)

• Unidad estándar internacional (SI)
• Una desintegración nuclear por segundo
• $1 \text{Bq} = 2.703\times 10^{-11}\text{Ci} = 27\text{pCi}$

Cálculo del cambio de radiactividad con el tiempo

Durante el tiempo $dt$, $\lambda n(t)$ núcleos se desintegran, por lo que la disminución en el número de núcleos que permanecen sin desintegrarse en la muestra durante $dt$ se puede expresar como:

\[-dn(t)=\lambda n(t)dt\]

Integrando esto, obtenemos:

\[n(t)=n_0e^{-\lambda t} \tag{2}\]

Multiplicando ambos lados por $\lambda$, la radiactividad es:

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-\lambda t} \tag{3}\]

La radiactividad se reduce a la mitad durante la vida media (half-life), por lo que:

\[\alpha (T_{1/2})=\alpha_0/2\]

Sustituyendo esto en la ecuación (3):

\[\alpha_0/2=\alpha_0e^{-\lambda T_{1/2}}\]

Tomando el logaritmo de ambos lados y resolviendo para la vida media $T_{1/2}$:

\[T_{1/2}=\frac {\ln 2}{\lambda}=\frac {0.693}{\lambda} \tag{4}\]

Resolviendo esta ecuación para $\lambda$ y sustituyendo en la ecuación (3):

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-0.693t/T_{1/2}} \tag{5}\]

La ecuación (5) es a menudo más útil para los cálculos de desintegración radiactiva que la ecuación (3), ya que es más común que se proporcionen los valores de vida media que las constantes de desintegración.

La vida promedio (mean-life) $\overline{t}$ de un núcleo radiactivo es el inverso de la constante de desintegración:

\[\overline{t}=1/\lambda\]

De la ecuación (3), podemos ver que durante una vida promedio, la radiactividad cae a $1/e$ de su valor inicial. De la ecuación (4), podemos establecer la siguiente relación entre la vida promedio y la vida media:

\[\overline{t}=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \tag{6}\]

※ Derivación de la vida promedio $\overline{t}$

\[\begin{align*} \overline{t}&=\frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{\int_0^\infty t} = \frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{n_0} \\ &= \frac {\int_0^\infty n_0 \lambda te^{-\lambda t}}{n_0} \\ &= \int_0^\infty \lambda te^{-\lambda t} \\ &= \left[-te^{-\lambda t}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda t} \\ &=\left[-\frac {1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=\frac {1}{\lambda} \end{align*}\]

Ejemplo: Cadena de desintegración radiactiva 1

Supongamos que un radionúclido se produce a una velocidad de $R$ átomos/s. Estos núcleos comienzan a desintegrarse radiactivamente tan pronto como se forman. Calcula la radiactividad de este núclido en un tiempo t arbitrario.

flowchart LR
	Start[?] -- R --> A[Modelo matemático]
	A -- α --> End[?]

1. Establecimiento del modelo

\[\text{Tasa de cambio del núclido con el tiempo} = \text{Tasa de producción} - \text{Tasa de pérdida}\]

En notación matemática:

\[dn/dt = -\lambda n + R\]

2. Solución general

Movamos todos los términos relacionados con $n$ al lado izquierdo y multipliquemos ambos lados por $e^{\lambda t}$.

\[\frac {dn}{dt} + \lambda n = R\] \[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt} + \lambda e^{\lambda t}n = Re^{\lambda t}\]

Como $\lambda e^{\lambda t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda t}$, podemos reorganizar como sigue:

\[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt}+\left(\frac {d}{dt} e^{\lambda t}\right)n = Re^{\lambda t}\]

Integrando ambos lados, obtenemos la solución general:

\[e^{\lambda t}n=\frac {R}{\lambda}e^{\lambda t}+c\] \[n=ce^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}\]

3. Solución particular

Supongamos que el número de este núclido en $t=0$ es $n_0$ y encontremos el valor de la constante $c$.

\[n(0)=c+\frac {R}{\lambda}=n_0\] \[c=n_0-\frac {R}{\lambda}\]

Por lo tanto, la solución particular para la situación dada es:

\[n = n_0e^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}) \tag{7}\]

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $\lambda$, podemos obtener la radiactividad de este núclido:

\[\alpha = \alpha_0e^{-\lambda t}+R(1-e^{-\lambda t}) \tag{8}\]

Es decir, cuando $t\to\infty$, converge a $\alpha_{\text{max}}=R$, $n_{\text{max}}=R/\lambda$.

Ejemplo: Cadena de desintegración radiactiva 2

Calcula la radiactividad del radionúclido B en la siguiente cadena de desintegración:

flowchart LR
	A --> B
	B --> C

1. Establecimiento del modelo

\[\text{Tasa de cambio del número de núcleos B} = \text{Tasa de producción por desintegración de A} - \text{Tasa de desintegración de B a C}\] \[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_A\]

Sustituyendo la ecuación (2) para $n_A$, obtenemos la siguiente ecuación diferencial para $n_B$:

\[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_{A0}e^{-\lambda_A t} \tag{9}\]

2. Solución general

Para resolver la ecuación diferencial, movamos todos los términos relacionados con $n_B$ al lado izquierdo y multipliquemos ambos lados por $e^{\lambda_B t}$:

\[\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B n_B = n_{A0}\lambda_A e^{-\lambda_A t}\] \[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B e^{\lambda_B t}n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Como $\lambda_B e^{\lambda_B t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda_b t}$, podemos reorganizar como sigue:

\[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \left(\frac {d}{dt} e^{\lambda_B t}\right)n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Integrando ambos lados:

\[e^{\lambda_B t}n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+c\]

Dividiendo ambos lados por $e^{\lambda_B t}$, obtenemos la solución general:

\[n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{-\lambda_A t}+ce^{-\lambda_B t}\]

3. Solución particular

Supongamos que el número de elementos B en $t=0$ es $n_{B0}$ y encontremos el valor de la constante $c$:

\[n_B(0)=\frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}+c=n_{B0}\] \[c=n_{B0}-\frac{n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\]

Por lo tanto, la solución particular para la situación dada es:

\[n_B = n_{B0}e^{-\lambda_B t} + \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{10}\] \[\therefore \alpha_B = \alpha_{B0} e^{-\lambda_B t} + \frac {\alpha_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{11}\]