Ecuación de Bernoulli (Bernoulli Equation)

Ecuación de Bernoulli (Bernoulli Equation)

\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ es un número real arbitrario)} \tag{1}\]

La ecuación de Bernoulli (1) es lineal si $a=0$ o $a=1$, y no lineal en otros casos. Sin embargo, se puede transformar en una ecuación lineal mediante el siguiente proceso.

Sea \(u(x)=[y(x)]^{1-a}\)

Diferenciando y sustituyendo $y’$ de la ecuación (1), obtenemos:

\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]

En el lado derecho, $y^{1-a}=u$, por lo que obtenemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]

Ejemplo: Ecuación Logística (Logistic Equation)

Resuelve la ecuación logística (una forma especial de la ecuación de Bernoulli).

\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]

Solución

Escribiendo la ecuación (3) en la forma de la ecuación (1):

\[y'-Ay=-By^2\]

Aquí, $a=2$, por lo que $u=y^{1-a}=y^{-1}$. Diferenciando esta u y sustituyendo $y’$ de la ecuación (3):

\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]

El último término es $-Ay^{-1}=-Au$, por lo que obtenemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

\[u'+Au=B\]

Según la fórmula de solución para ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneas, podemos obtener la siguiente solución general:

\[u=ce^{-At}+B/A\]

Como $u=1/y$, de esto obtenemos la solución general de la ecuación (3):

\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]