Conceptos básicos de modelado (Modeling)

Modelado (Modeling)

• Modelo (model): Formalización matemática de un problema de ingeniería mediante variables, funciones, ecuaciones, etc.
• Modelado matemático (mathematical modeling) o modelado (modeling): Proceso de establecer un modelo, resolverlo matemáticamente e interpretar los resultados

flowchart LR
	title([Modelado])
	A[Sistema físico] --> B[Modelo matemático]
	B[Modelo matemático] --> C[Solución matemática]
	C[Solución matemática] --> D[Interpretación física]

Dado que muchos conceptos físicos como la velocidad o la aceleración son derivadas, los modelos a menudo toman la forma de ecuaciones que incluyen derivadas de funciones desconocidas, es decir, ecuaciones diferenciales (differential equations).

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Ecuación diferencial ordinaria (ordinary differential equation; ODE): Ecuación que incluye la derivada n-ésima de una función desconocida

Ejemplos:

\[y' = \cos x\] \[y'' + 9y = e^{-2x}\] \[y'y''' - \frac{3}{2}y'^{2} = 0\]

Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

Ecuación diferencial parcial (partial differential equation; PDE): Ecuación que incluye derivadas parciales de una función desconocida con dos o más variables

Ejemplo:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

Solución (Solution)

Si una función $h(x)$ está definida y es diferenciable en un intervalo abierto $(a, b)$, y cuando $y$ e $y’$ se reemplazan por $h$ y $h’$ respectivamente, la ecuación diferencial ordinaria dada se convierte en una identidad, entonces la función

\[y = h(x)\]

se llama solución (solution) de la ecuación diferencial ordinaria dada en el intervalo $(a, b)$, y la curva de $h$ se llama curva solución (solution curve).

Ejemplos:

\[y'=\cos x \Leftrightarrow y=\sin x+c\] \[y'=0.2y \Leftrightarrow y=ce^{0.2t}\]

Una solución que incluye una constante arbitraria $c$ como esta se llama solución general (general solution) de la ecuación diferencial ordinaria.

Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial ordinaria es un conjunto infinito de curvas solución, con una curva correspondiente a cada valor de la constante $c$. Al seleccionar un valor específico para la constante $c$, se obtiene una solución particular (particular solution) de la ecuación diferencial ordinaria.

Problema de valor inicial (Initial Value Problem)

Para obtener una solución particular del problema dado, es necesario determinar el valor de la constante arbitraria $c$, que en muchos casos se puede encontrar a través de una condición inicial (initial condition) como $y(x_{0})=y_{0}$ o $y(t_{0})=y_{0}$ (se llama condición inicial incluso si la variable independiente no es el tiempo o si $t_{0}\neq0$). Una ecuación diferencial ordinaria con una condición inicial se llama problema de valor inicial (initial value problem).

Ejemplo:

\[y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}\]

Ejemplo de modelado: Decaimiento exponencial de material radiactivo

Determina la cantidad restante de material radiactivo en el tiempo cuando se da una cantidad inicial de 0.5g.

Los experimentos muestran que el material radiactivo se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad de material restante en cada momento, y por lo tanto decae con el tiempo.

1. Establecimiento del modelo matemático

Representemos la cantidad de material restante en el tiempo $t$ como $y(t)$. Como $y’(t)$ es proporcional a $y(t)$, obtenemos la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

\[\frac {dy}{dt} = -ky\]

(donde la constante $k>0$).

También conocemos la condición inicial $y(0)=0.5$. Por lo tanto, podemos establecer el modelo matemático como el siguiente problema de valor inicial:

\[\frac {dy}{dt} = -ky, \qquad y(0)=0.5\]

2. Solución matemática

La solución general de la ecuación diferencial ordinaria que establecimos anteriormente es la siguiente (consulta Método de separación de variables):

\[y(t)=ce^{-kt}\]

Como $y(0)=c$, obtenemos $y(0)=c=0.5$ de la condición inicial. Por lo tanto, la solución particular que buscamos es

\[y(t)=0.5e^{-kt} \quad(k>0)\]

3. Interpretación física de la solución

La solución que hemos encontrado representa la cantidad de material radiactivo en cualquier tiempo $t$. La cantidad de material radiactivo comienza en el valor inicial de 0.5(g) y disminuye con el tiempo, con un valor límite de $0$ cuando $t \to \infty$.