Folgen und Reihen

Folgen

In der Infinitesimalrechnung bezieht sich der Begriff Folge (sequence) hauptsächlich auf unendliche Folgen. Eine Folge ist also eine Funktion, die auf der Menge der natürlichen Zahlen (natural numbers) definiert ist:

\[\mathbb{N} := \{1,2,3,\dots\}\]

• Wenn die Werte dieser Funktion reelle Zahlen sind, spricht man von einer ‘reellen Folge’, bei komplexen Zahlen von einer ‘komplexen Folge’, bei Punkten von einer ‘Punktfolge’, bei Matrizen von einer ‘Matrizenfolge’, bei Funktionen von einer ‘Funktionenfolge’ und bei Mengen von einer ‘Mengenfolge’. All diese können einfach als ‘Folge’ oder ‘Zahlenfolge’ bezeichnet werden.

Üblicherweise wird für eine Folge $\mathbf{a}: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ im Körper der reellen Zahlen (the field of real numbers) $\mathbb{R}$

\[a_1 := \mathbf{a}(1), \quad a_2 := \mathbf{a}(2), \quad a_3 := \mathbf{a}(3)\]

gesetzt, und diese Folge wird dargestellt als:

\[a_1,\, a_2,\, a_3,\, \dots\]

oder

\[\begin{gather*} (a_1,a_2,a_3,\dots), \\ (a_n: n=1,2,3,\dots), \\ (a_n)_{n=1}^{\infty}, \qquad (a_n) \end{gather*}\]

*Bei der Definition einer Folge kann man statt der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ auch die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen

\[\mathbb{N}_0 := \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\]

oder

\[\{2,3,4,\dots \}\]

als Definitionsbereich wählen. Zum Beispiel ist es bei der Theorie der Potenzreihen natürlicher, den Definitionsbereich als $\mathbb{N}_0$ zu wählen.

Konvergenz und Divergenz

Wenn eine Folge $(a_n)$ gegen eine reelle Zahl $l$ konvergiert, schreibt man

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l\]

und $l$ wird als Grenzwert der Folge $(a_n)$ bezeichnet.

Die strenge Definition unter Verwendung des Epsilon-Delta-Arguments (epsilon-delta argument) lautet wie folgt:

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l \overset{def}\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon)\]

Das bedeutet, dass für jede noch so kleine positive Zahl $\epsilon$ immer eine natürliche Zahl $N$ existiert, so dass für $n>N$ gilt: $|a_n - l | < \epsilon$. Dies impliziert, dass für hinreichend große $n$ die Differenz zwischen $a_n$ und $l$ beliebig klein wird, und daher definiert man, dass eine Folge $(a_n)$, die diese Bedingung erfüllt, gegen die reelle Zahl $l$ konvergiert.

Eine Folge, die nicht konvergiert, wird als divergent bezeichnet. Die Konvergenz oder Divergenz einer Folge ändert sich nicht, wenn eine endliche Anzahl ihrer Glieder geändert wird.

Wenn die Glieder einer Folge $(a_n)$ unbegrenzt größer werden, schreibt man

\[\lim_{n\to \infty} a_n = \infty\]

und sagt, dass die Folge gegen positiv unendlich divergiert. Analog dazu, wenn die Glieder einer Folge $(a_n)$ unbegrenzt kleiner werden, schreibt man

\[\lim_{n\to \infty} a_n = -\infty\]

und sagt, dass die Folge gegen negativ unendlich divergiert.

Grundlegende Eigenschaften konvergenter Folgen

Wenn sowohl die Folge $(a_n)$ als auch $(b_n)$ konvergieren (d.h. Grenzwerte haben), konvergieren auch die Folgen $(a_n + b_n)$ und $(a_n \cdot b_n)$, und es gilt:

\[\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to \infty} a_n + \lim_{n\to \infty} b_n \label{eqn:props_of_conv_series_1}\tag{1}\] \[\lim_{n\to \infty} (a_n \cdot b_n) = \left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty} b_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_2}\tag{2}\]

Außerdem gilt für jede reelle Zahl $t$:

\[\lim_{n\to \infty} (t a_n) = t\left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_3}\tag{3}\]

Diese Eigenschaften werden als grundlegende Eigenschaften konvergenter Folgen oder grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten bezeichnet.

Die Eulersche Zahl $e$

Die Basis des natürlichen Logarithmus wird definiert als:

\[e := \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \approx 2.718\]

Dies ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik.

Nur in Korea wird der Ausdruck ‘natürliche Konstante’ recht häufig verwendet, aber dies ist kein Standardbegriff. Der offizielle Begriff, der von der Koreanischen Mathematischen Gesellschaft im mathematischen Wörterbuch eingetragen wurde, ist ‘Basis des natürlichen Logarithmus’, und der Ausdruck ‘natürliche Konstante’ ist in diesem Wörterbuch nicht zu finden. Sogar im Standardwörterbuch des Nationalen Instituts für koreanische Sprache findet man den Begriff ‘natürliche Konstante’ nicht, und in der Wörterbuchdefinition von ‘natürlicher Logarithmus’ wird nur erwähnt, dass es sich um “eine bestimmte Zahl handelt, die üblicherweise mit e bezeichnet wird”.
Auch in englischsprachigen Ländern und Japan gibt es keine entsprechenden Begriffe. Im Englischen werden hauptsächlich Ausdrücke wie ‘the base of the natural logarithm’ oder kurz ‘natural base’, oder ‘Euler’s number’ bzw. ‘the number $e$’ verwendet.
Da die Herkunft unklar ist, die Koreanische Mathematische Gesellschaft es nie als offiziellen Begriff anerkannt hat und es außerhalb Koreas nirgendwo auf der Welt verwendet wird, gibt es keinen Grund, an einem solchen Begriff festzuhalten. Daher werde ich hier in Zukunft den Ausdruck ‘Basis des natürlichen Logarithmus’ verwenden oder einfach $e$ schreiben.

Reihen

Für eine Folge

\[\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \dots)\]

bezeichnet man die Folge der Partialsummen

\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]

als Reihe der Folge $\mathbf{a}$. Die Reihe der Folge $(a_n)$ wird dargestellt als:

\[\begin{gather*} a_1 + a_2 + a_3 + \cdots, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \\ \sum_{n\geq 1} a_n, \qquad \sum_n a_n, \qquad \sum a_n \end{gather*}\]

Konvergenz und Divergenz von Reihen

Wenn die aus der Folge $(a_n)$ gebildete Reihe

\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]

gegen eine reelle Zahl $l$ konvergiert, schreibt man

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = l\]

Der Grenzwert $l$ wird als Summe der Reihe $\sum a_n$ bezeichnet. Das Symbol

\[\sum a_n\]

kann je nach Kontext sowohl die Reihe als auch die Summe der Reihe bezeichnen.

Eine Reihe, die nicht konvergiert, wird als divergent bezeichnet.

Grundlegende Eigenschaften konvergenter Reihen

Aus den grundlegenden Eigenschaften konvergenter Folgen ergeben sich die folgenden grundlegenden Eigenschaften konvergenter Reihen. Für eine reelle Zahl $t$ und zwei konvergente Reihen $\sum a_n$, $\sum b_n$ gilt:

\[\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n, \qquad \sum ta_n = t\sum a_n \tag{4}\]

Die Konvergenz einer Reihe wird nicht durch die Änderung einer endlichen Anzahl von Gliedern beeinflusst. Das heißt, wenn für zwei Folgen $(a_n)$, $(b_n)$ gilt, dass $a_n=b_n$ für alle $n$ außer einer endlichen Anzahl, dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe $\sum a_n$, dass die Reihe $\sum b_n$ konvergiert.