Relativitätsprinzip und Lorentz-Transformation

TL;DR

Relativitätsprinzip: Das Prinzip, dass alle physikalischen Gesetze in verschiedenen Bezugssystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegen, gleich sein müssen

Lorentz-Faktor $\gamma$

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

Lorentz-Transformation

\[\begin{pmatrix} \vec{x}^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\vec{\beta} \\ -\gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x^\prime} = \gamma\vec{x}-\gamma\vec{\beta}ct $
• $ ct^\prime = \gamma ct - \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x} $

Inverse Lorentz-Transformation

\[\begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma\vec{\beta} \\ \gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x^\prime} \\ ct^\prime \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x} = \gamma\vec{x^\prime}+\gamma\vec{\beta}ct^\prime $
• $ ct = \gamma ct^\prime + \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x^\prime} $

Bezugssystem und Relativitätsprinzip

Bezugssystem (frame of reference)

• Bezugssystem (frame of reference): Die Bewegung eines Körpers bedeutet, dass seine Position relativ zu anderen Körpern verändert wird. Da alle Bewegungen relativ sind, muss ein Bezugssystem festgelegt werden, um eine Bewegung zu beschreiben.
• Inertialsystem (inertial frames of reference): Ein System, in dem Newtons erstes Bewegungsgesetz (“Der Bewegungszustand eines Körpers bleibt unverändert, solange die Nettoeinwirkung von Kräften auf ihn null ist”) gilt. Jedes Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem.

Relativitätsprinzip (Principle of Relativity)

Es ist eines der Hauptkonzepte und eine grundlegende Voraussetzung der Physik, dass alle physikalischen Gesetze in verschiedenen Bezugssystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegen, gleich sein müssen. Wenn Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen, unterschiedliche physikalische Gesetze feststellen würden, könnte dieser Unterschied genutzt werden, um ein absolutes Bezugssystem zu etablieren und zu bestimmen, wer ruht und wer sich bewegt. Nach dem Relativitätsprinzip gibt es jedoch keine solche Unterscheidung, daher existiert kein absolutes Bezugssystem oder absolute Bewegung für das gesamte Universum, und alle Inertialsysteme sind gleichwertig.

Grenzen der Galilei-Transformation

Galilei-Transformation (Galilean transformation)

Angenommen, es gibt zwei Inertialsysteme $S$ und $S^{\prime}$, wobei sich $S^{\prime}$ relativ zu $S$ mit einer konstanten Geschwindigkeit $\vec{v}$ in Richtung $+x$ bewegt. Ein und dasselbe Ereignis wird in $S$ zum Zeitpunkt $t$ an den Koordinaten $(x, y, z)$ und in $S^{\prime}$ zum Zeitpunkt $t^{\prime}$ an den Koordinaten $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$ beobachtet.

In diesem Fall wird der in $S^{\prime}$ gemessene Wert der Bewegung in $x$-Richtung um die Strecke $\vec{v}t$ größer sein als der in $S$ gemessene Wert, da sich $S^{\prime}$ relativ zu $S$ in $x$-Richtung bewegt hat:

\[x^{\prime} = x - \vec{v}t \label{eqn:galilean_transform_x} \tag{1}\]

Da es keine relative Bewegung in $y$- und $z$-Richtung gibt:

\[\begin{align*} y^{\prime} = y \label{eqn:galilean_transform_y} \tag{2} \\ z^{\prime} = z \label{eqn:galilean_transform_z} \tag{3} \end{align*}\]

Intuitiv kann man annehmen, dass:

\[t^{\prime} = t \tag{4} \label{eqn:galilean_transform_t}\]

Diese Gleichungen ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$) bis ($\ref{eqn:galilean_transform_t}$), die in der Physik klassischerweise für die Koordinatentransformation zwischen verschiedenen Inertialsystemen verwendet wurden, werden als Galilei-Transformation bezeichnet. Sie ist einfach und intuitiv und stimmt in den meisten alltäglichen Situationen überein. Wie später erläutert wird, steht sie jedoch im Widerspruch zu den Maxwell-Gleichungen.

Maxwell-Gleichungen

Maxwell erweiterte Ende des 19. Jahrhunderts die Ideen und Forschungsergebnisse anderer Wissenschaftler wie Faraday und Ampere und zeigte, dass Elektrizität und Magnetismus tatsächlich eine einzige Kraft sind. Er leitete die folgenden vier Gleichungen ab, die das elektromagnetische Feld beschreiben:

1. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{E}=\frac{q}{\epsilon_0} \\ \text{: Der elektrische Fluss durch eine beliebige geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Nettoladung (Gaußsches Gesetz).} \end{gather*}\]
2. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{B}=0 \\ \text{: Magnetische Monopole existieren nicht.} \end{gather*}\]
3. \[\begin{gather*}\nabla\times{E}=-\frac{\partial B}{\partial t} \\ \text{: Änderungen des Magnetfelds erzeugen ein elektrisches Feld (Faradaysches Induktionsgesetz).} \end{gather*}\]
4. \[\begin{gather*}\nabla\times{B}=\mu_0\left(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\right) \\ \text{: Elektrische Feldänderungen und Ströme erzeugen ein Magnetfeld (Ampère-Maxwell-Gesetz).} \end{gather*}\]

Die Maxwell-Gleichungen konnten alle bis dahin bekannten elektrischen und magnetischen Phänomene erfolgreich erklären, sagten die Existenz elektromagnetischer Wellen voraus und zeigten, dass die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum $c$ eine unveränderliche Konstante ist, was sie zu einer zentralen Formel der Elektrodynamik machte.

Widerspruch zwischen Galilei-Transformation und Maxwell-Gleichungen

Die Newtonsche Mechanik, die die Galilei-Transformation verwendet, war über 200 Jahre lang die Grundlage der Physik, und die Maxwell-Gleichungen sind, wie bereits erwähnt, die zentralen Gleichungen zur Beschreibung elektrischer und magnetischer Phänomene. Zwischen den beiden besteht jedoch folgender Widerspruch:

• Nach dem Relativitätsprinzip sollten auch die Maxwell-Gleichungen in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben. Wenn man jedoch die Galilei-Transformation anwendet, um Werte von einem Inertialsystem in ein anderes zu übertragen, nehmen die Maxwell-Gleichungen eine sehr unterschiedliche Form an.
• Aus den Maxwell-Gleichungen kann die Größe der Lichtgeschwindigkeit $c$ berechnet werden, die eine unveränderliche Konstante ist. Nach der Newtonschen Mechanik und der Galilei-Transformation würde die Lichtgeschwindigkeit $c$ jedoch je nach Inertialsystem unterschiedlich gemessen werden.

Daher passen die Maxwell-Gleichungen und die Galilei-Transformation nicht zusammen, und mindestens eine von ihnen musste modifiziert werden. Dies bildete den Hintergrund für die Entstehung der später beschriebenen Lorentz-Transformation.

Äthertheorie und Michelson-Morley-Experiment

In der Physik des 19. Jahrhunderts nahm man an, dass Licht, wie andere Wellen wie Wasserwellen oder Schallwellen, durch ein hypothetisches Medium namens Äther (aether) übertragen wird, und man bemühte sich, die Existenz dieses Äthers nachzuweisen.

Nach der Äthertheorie ist der Weltraum, auch wenn er ein Vakuum ist, mit Äther gefüllt, und durch die Erdumlaufbahn, die sich mit etwa 30 km/s relativ zur Sonne bewegt, würde ein Ätherwind entstehen, der die Erde durchquert.

Bildquelle

• Autor: Wikimedia-Benutzer Cronholm144
• Lizenz: CC BY-SA 3.0

Um diese Hypothese zu überprüfen, führte Michelson im Jahr 11887 der Menschheitsära in Zusammenarbeit mit Morley das Michelson-Morley-Experiment mit dem unten abgebildeten Interferometer durch.

Bildquelle

• Autor: Albert Abraham Michelson mit Edward Morley
• Lizenz: public domain

In diesem Experiment wird der Lichtstrahl durch einen halbdurchlässigen Spiegel in zwei Teile geteilt, die jeweils die beiden senkrecht zueinander stehenden Arme des Interferometers hin und zurück durchlaufen, insgesamt etwa 11 m zurücklegen und sich in der Mitte treffen. Dabei entstehen je nach Phasenunterschied der beiden Lichtstrahlen konstruktive oder destruktive Interferenzmuster. Nach der Äthertheorie sollte sich aufgrund der unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten relativ zum Äther dieser Phasenunterschied ändern und somit eine Veränderung des Interferenzmusters beobachtet werden können, aber in Wirklichkeit konnte keine Veränderung des Interferenzmusters beobachtet werden. Es gab verschiedene Versuche, dieses experimentelle Ergebnis zu erklären, wobei FitzGerald und Lorentz die Lorentz-FitzGerald-Kontraktion oder Längenkontraktion vorschlugen, wonach ein Objekt kontrahiert, wenn es sich relativ zum Äther bewegt. Dies führte zur Lorentz-Transformation.

Lorentz glaubte zu dieser Zeit an die Existenz des Äthers und dachte, dass die Längenkontraktion durch die relative Bewegung zum Äther verursacht würde. Später interpretierte Einstein mit seiner Speziellen Relativitätstheorie die wahre physikalische Bedeutung der Lorentz-Transformation und erklärte die Längenkontraktion durch das Konzept der Raumzeit statt des Äthers. Es wurde später auch gezeigt, dass der Äther nicht existiert.

Lorentz-Transformation

Herleitung der Lorentz-Transformation

In der gleichen Situation wie bei der oben betrachteten Galilei-Transformation (Gleichungen [$\ref{eqn:galilean_transform_x}$]-[$\ref{eqn:galilean_transform_t}$]) nehmen wir an, dass die korrekte Transformationsbeziehung zwischen $x$ und $x^{\prime}$, die nicht im Widerspruch zu den Maxwell-Gleichungen steht, wie folgt lautet:

\[x^{\prime} = \gamma(x-\vec{v}t). \label{eqn:lorentz_transform_x}\tag{5}\]

Hier ist $\gamma$ unabhängig von $x$ und $t$, kann aber eine Funktion von $\vec{v}$ sein. Diese Annahme kann aus folgenden Gründen getroffen werden:

• Damit Ereignisse in $S$ und $S^{\prime}$ eineindeutig zugeordnet werden können, müssen $x$ und $x^{\prime}$ in einer linearen Beziehung stehen.
• Da bekannt ist, dass die Galilei-Transformation in alltäglichen mechanischen Situationen korrekt ist, sollte sie durch Gleichung ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$) angenähert werden können.
• Die Form sollte möglichst einfach sein.

Da physikalische Formeln in den Bezugssystemen $S$ und $S^{\prime}$ die gleiche Form haben müssen, kann man $x$ durch $x^{\prime}$ und $t$ ausdrücken, indem man nur das Vorzeichen von $\vec{v}$ (die Richtung der relativen Bewegung) ändert. Da es außer dem Vorzeichen von $\vec{v}$ keinen Unterschied zwischen den beiden Bezugssystemen geben sollte, muss $\gamma$ gleich sein.

\[x = \gamma(x^{\prime}+\vec{v}t^{\prime}). \label{eqn:lorentz_transform_x_inverse}\tag{6}\]

Wie bei der Galilei-Transformation gibt es keinen Grund, warum sich die zu $\vec{v}$ senkrechten Komponenten $y$ und $y^{\prime}$ sowie $z$ und $z^{\prime}$ unterscheiden sollten, daher:

\[\begin{align*} y^{\prime} &= y \\ z^{\prime} &= z \end{align*} \label{eqn:lorentz_transform_yz} \tag{7}\]

Wenn wir nun Gleichung ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) in ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_inverse}$) einsetzen, erhalten wir:

\[x = \gamma^2 x - \gamma^2 \vec{v}t + \gamma \vec{v}t^{\prime}\]

Nach $t^{\prime}$ aufgelöst:

\[t^{\prime} = \gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)x \label{eqn:lorentz_transform_t} \tag{8}\]

Um nicht im Widerspruch zu den Maxwell-Gleichungen zu stehen, muss die Lichtgeschwindigkeit in beiden Bezugssystemen gleich $c$ sein, was zur Bestimmung von $\gamma$ genutzt werden kann. Wenn sich zum Zeitpunkt $t=0$ die Ursprünge beider Bezugssysteme am selben Ort befanden, dann ist aufgrund dieser Anfangsbedingung $t^\prime = 0$. Stellen wir uns nun vor, dass zum Zeitpunkt $t=t^\prime=0$ am gemeinsamen Ursprung von $S$ und $S^\prime$ ein Lichtblitz auftrat und die Beobachter in jedem Bezugssystem die Geschwindigkeit dieses Lichts messen. In diesem Fall gilt im Bezugssystem $S$:

\[x = ct \label{eqn:ct_S}\tag{9}\]

und im Bezugssystem $S^\prime$:

\[x^\prime = ct^\prime \label{eqn:ct_S_prime}\tag{10}\]

Wenn wir $x$ und $t$ in der obigen Gleichung mit Hilfe der Gleichungen ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) und ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$) ersetzen, erhalten wir:

\[\gamma (x-\vec{v}t) = c\gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)cx\]

Nach $x$ aufgelöst:

\[\left[\gamma-\left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c \right]x = c\gamma t + \vec{v}\gamma t\] \[\begin{align*} x &= \cfrac{c\gamma t + \vec{v}\gamma}{\gamma-\left(\cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c} \\ &= ct\left[ \cfrac{\gamma + \cfrac{\vec{v}}{c}\gamma}{\gamma - \left( \cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}} \right)c} \right] \\ &= ct\left[ \cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} \right] \end{align*}\]

Da wir aus Gleichung ($\ref{eqn:ct_S}$) wissen, dass $x=ct$, muss gelten:

\[\cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} = 1\]

Daraus folgt:

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{lorentz_factor}\tag{11}\]

Wenn wir diese Formel für $\gamma$ als Funktion von $\vec{v}$ in die Gleichungen ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$), ($\ref{eqn:lorentz_transform_yz}$) und ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$) einsetzen, erhalten wir die endgültigen Transformationsgleichungen vom Bezugssystem $S$ zum Bezugssystem $S^\prime$.

Transformationsmatrix der Lorentz-Transformation

Die endgültigen Transformationsgleichungen, die wir erhalten haben, lauten:

• \[x^\prime = \frac{x-\vec{v}t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_x_fin}\tag{12}\]
• \[y^\prime = y \label{eqn:lorentz_transform_y_fin}\tag{13}\]
• \[z^\prime = z \label{eqn:lorentz_transform_z_fin}\tag{14}\]
• \[t^\prime = \frac{t-\cfrac{\vec{v}x}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_t_fin}\tag{15}\]

Diese Gleichungen bilden die Lorentz-Transformation. Mit $\vec{\beta}=\vec{v}/c$ können sie in Matrixform wie folgt dargestellt werden:

\[\begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix}. \label{lorentz_transform_matrix}\tag{16}\]

Lorentz zeigte, dass bei Verwendung dieser Transformationsgleichungen die grundlegenden Formeln der Elektrodynamik in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben. Außerdem kann man sehen, dass für Geschwindigkeiten $v$, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit $c$ sind, $\gamma \to 1$ gilt, sodass die Transformation durch die Galilei-Transformation angenähert werden kann.

Inverse Lorentz-Transformation

Manchmal ist es praktischer, die Messungen vom bewegten System $S^\prime$ in das ruhende System $S$ zu transformieren, anstatt umgekehrt. In solchen Fällen kann die inverse Lorentz-Transformation verwendet werden.
Durch Berechnung der Inversen der Matrix ($\ref{lorentz_transform_matrix}$) erhält man die folgende Matrix der inversen Lorentz-Transformation:

\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix}. \tag{17}\]

Dies entspricht dem Austausch der mit und ohne Strich versehenen Größen in den Gleichungen ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_fin}$)-($\ref{eqn:lorentz_transform_t_fin}$) und dem Ersetzen von $v$ durch $-v$ (bzw. $\beta$ durch $-\beta$).

• \[x = \frac{x^\prime+\vec{v}t^\prime}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{18}\]
• \[y = y^\prime \tag{19}\]
• \[z = z^\prime \tag{20}\]
• \[t = \frac{t^\prime+\cfrac{\vec{v}x^\prime}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{21}\]