Relativitätsprinzip und Lorentz-Transformation

TL;DR

Relativitätsprinzip: Das Prinzip, dass alle physikalischen Gesetze in allen Inertialsystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegen, gleich sein müssen

Lorentz-Faktor $\gamma$

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

Lorentz-Transformation

\[\begin{pmatrix} \vec{x}^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\vec{\beta} \\ -\gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x^\prime} = \gamma\vec{x}-\gamma\vec{\beta}ct $
• $ ct^\prime = \gamma ct - \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x} $

Inverse Lorentz-Transformation

\[\begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma\vec{\beta} \\ \gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x^\prime} \\ ct^\prime \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x} = \gamma\vec{x^\prime}+\gamma\vec{\beta}ct^\prime $
• $ ct = \gamma ct^\prime + \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x^\prime} $

Bezugssysteme und Relativitätsprinzip

Bezugssystem (frame of reference)

• Bezugssystem (frame of reference): Da die Bewegung eines Objekts bedeutet, dass sich seine Position relativ zu anderen Objekten ändert und alle Bewegungen relativ sind, muss ein Bezugssystem festgelegt werden, um eine Bewegung zu beschreiben.
• Inertialsystem (inertial frames of reference): Ein System, in dem Newtons erstes Bewegungsgesetz (“Der Bewegungszustand eines Körpers bleibt unverändert, solange die Nettokraft auf den Körper null ist”) gilt. Jedes Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem.

Relativitätsprinzip (Principle of Relativity)

Es ist eines der Hauptkonzepte und grundlegenden Voraussetzungen der Physik und besagt, dass alle physikalischen Gesetze in allen Inertialsystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegen, gleich sein müssen. Wenn die physikalischen Gesetze für relativ zueinander bewegte Beobachter unterschiedlich wären, könnte man diesen Unterschied nutzen, um ein absolutes Bezugssystem zu etablieren und zu bestimmen, wer ruht und wer sich bewegt. Gemäß dem Relativitätsprinzip gibt es jedoch keine solche Unterscheidung, daher existiert kein absolutes Bezugssystem oder absolute Bewegung für das gesamte Universum, und alle Inertialsysteme sind gleichwertig.

Grenzen der Galilei-Transformation

Galilei-Transformation

Angenommen, es gibt zwei Inertialsysteme $S$ und $S^{\prime}$, wobei sich $S^{\prime}$ mit einer konstanten Geschwindigkeit $\vec{v}$ in $+x$-Richtung relativ zu $S$ bewegt, und ein und dasselbe Ereignis wird in $S$ zur Zeit $t$ an den Koordinaten $(x, y, z)$ und in $S^{\prime}$ zur Zeit $t^{\prime}$ an den Koordinaten $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$ beobachtet.

In diesem Fall wird der in $S^{\prime}$ gemessene Wert der Bewegung in $x$-Richtung um die Strecke $\vec{v}t$ größer sein als der in $S$ gemessene Wert, die $S^{\prime}$ relativ zu $S$ in $x$-Richtung zurückgelegt hat, also

\[x^{\prime} = x - \vec{v}t \label{eqn:galilean_transform_x} \tag{1}\]

und da es keine relative Bewegung in $y$- und $z$-Richtung gibt,

\[\begin{align*} y^{\prime} = y \label{eqn:galilean_transform_y} \tag{2} \\ z^{\prime} = z \label{eqn:galilean_transform_z} \tag{3} \end{align*}\]

und intuitiv kann man annehmen, dass

\[t^{\prime} = t \tag{4} \label{eqn:galilean_transform_t}\]

Die Koordinatentransformation zwischen verschiedenen Inertialsystemen, die in der Physik klassischerweise verwendet wurde, wie in den Gleichungen ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$) bis ($\ref{eqn:galilean_transform_t}$), wird als Galilei-Transformation bezeichnet und ist in den meisten alltäglichen Situationen zutreffend, einfach und intuitiv. Wie später erläutert wird, steht sie jedoch im Widerspruch zu den Maxwell-Gleichungen.

Maxwell-Gleichungen

Maxwell erweiterte in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts die Ideen und Forschungsergebnisse anderer Wissenschaftler wie Faraday und Ampère und zeigte, dass Elektrizität und Magnetismus tatsächlich eine einzige Kraft sind. Er leitete die folgenden vier Gleichungen ab, die das elektromagnetische Feld beschreiben:

1. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{E}=\frac{q}{\epsilon_0} \\ \text{: Der elektrische Fluss durch eine beliebige geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Nettoladung (Gaußsches Gesetz).} \end{gather*}\]
2. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{B}=0 \\ \text{: Es gibt keine magnetischen Monopole.} \end{gather*}\]
3. \[\begin{gather*}\nabla\times{E}=-\frac{\partial B}{\partial t} \\ \text{: Eine Änderung des Magnetfeldes erzeugt ein elektrisches Feld (Faradaysches Induktionsgesetz).} \end{gather*}\]
4. \[\begin{gather*}\nabla\times{B}=\mu_0\left(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\right) \\ \text{: Elektrische Ströme und Änderungen des elektrischen Feldes erzeugen ein Magnetfeld (Ampère-Maxwell-Gesetz).} \end{gather*}\]

Die Maxwell-Gleichungen konnten alle bis dahin bekannten elektrischen und magnetischen Phänomene erfolgreich erklären, sagten die Existenz elektromagnetischer Wellen voraus und leiteten auch ab, dass die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum $c$ eine unveränderliche Konstante ist, und wurden so zu den Kernformeln der Elektrodynamik.

Widerspruch zwischen Galilei-Transformation und Maxwell-Gleichungen

Die Newtonsche Mechanik, die die Galilei-Transformation verwendet, war über 200 Jahre lang die Grundlage der Physik, und die Maxwell-Gleichungen sind, wie oben erwähnt, die Kerngleichungen zur Beschreibung elektrischer und magnetischer Phänomene. Zwischen den beiden gibt es jedoch folgende Widersprüche:

• Gemäß dem Relativitätsprinzip wird erwartet, dass auch die Maxwell-Gleichungen in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben, aber wenn man die in einem Inertialsystem gemessenen Werte mit der Galilei-Transformation in Werte umrechnet, die in einem anderen Inertialsystem gemessen wurden, nehmen die Maxwell-Gleichungen eine sehr unterschiedliche Form an.
• Aus den Maxwell-Gleichungen kann man die Größe der Lichtgeschwindigkeit $c$ berechnen, und diese ist eine unveränderliche Konstante, aber nach der Newtonschen Mechanik und der Galilei-Transformation wird die Lichtgeschwindigkeit $c$ in verschiedenen Inertialsystemen unterschiedlich gemessen.

Daher passen die Maxwell-Gleichungen und die Galilei-Transformation nicht zusammen, und mindestens eine von beiden musste modifiziert werden. Dies bildete den Hintergrund für die Entstehung der später zu besprechenden Lorentz-Transformation.

Äthertheorie und Michelson-Morley-Experiment

In der Physik des 19. Jahrhunderts nahm man an, dass auch Licht, wie andere Wellen wie Wasserwellen oder Schallwellen, durch ein hypothetisches Medium namens Äther (aether) übertragen wird, und man bemühte sich, die Existenz dieses Äthers nachzuweisen.

Nach der Äthertheorie ist der Weltraum, selbst wenn er ein Vakuum ist, vollständig mit Äther gefüllt, so dass man annahm, dass durch die Erdumlaufbahn, die sich mit einer Geschwindigkeit von etwa 30 km/s relativ zur Sonne bewegt, ein Ätherwind entstehen würde, der die Erde durchquert.

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Um diese Hypothese zu überprüfen, führte Michelson 1887 in Zusammenarbeit mit Morley das Michelson-Morley-Experiment durch, bei dem das unten abgebildete Interferometer verwendet wurde.

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• Autor: Albert Abraham Michelson mit Edward Morley
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In diesem Experiment wird der Lichtstrahl durch einen halbdurchlässigen Spiegel in zwei Teile geteilt, die jeweils die beiden senkrecht zueinander stehenden Arme des Interferometers hin und zurück durchlaufen, insgesamt etwa 11 m zurücklegen und sich in der Mitte treffen. Dabei entstehen je nach Phasenunterschied der beiden Lichtstrahlen konstruktive oder destruktive Interferenzmuster. Nach der Äthertheorie sollte sich aufgrund der unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeit relativ zum Äther dieser Phasenunterschied ändern und somit eine Veränderung des Interferenzmusters beobachtet werden können, aber in Wirklichkeit konnte keine Veränderung des Interferenzmusters beobachtet werden. Es gab mehrere Versuche, dieses experimentelle Ergebnis zu erklären, darunter schlugen FitzGerald und Lorentz die Lorentz-FitzGerald-Kontraktion oder Längenkontraktion vor, bei der sich die Länge eines Objekts verkürzt, wenn es sich relativ zum Äther bewegt. Dies führte zur Lorentz-Transformation.

Lorentz glaubte zu dieser Zeit an die Existenz des Äthers und dachte, dass die Längenkontraktion durch die relative Bewegung zum Äther verursacht würde. Später interpretierte Einstein mit der Speziellen Relativitätstheorie die wahre physikalische Bedeutung der Lorentz-Transformation und erklärte die Längenkontraktion nicht mit dem Äther, sondern mit dem Konzept der Raumzeit. Es wurde auch später gezeigt, dass der Äther nicht existiert.

Lorentz-Transformation

Herleitung der Lorentz-Transformation

Nehmen wir an, dass in der gleichen Situation wie bei der Galilei-Transformation (Gleichungen [$\ref{eqn:galilean_transform_x}$]-[$\ref{eqn:galilean_transform_t}$]) die korrekte Transformationsbeziehung zwischen $x$ und $x^{\prime}$, die nicht im Widerspruch zu den Maxwell-Gleichungen steht, wie folgt ist:

\[x^{\prime} = \gamma(x-\vec{v}t). \label{eqn:lorentz_transform_x}\tag{5}\]

Hier ist $\gamma$ unabhängig von $x$ und $t$, kann aber eine Funktion von $\vec{v}$ sein. Die Gründe für diese Annahme sind:

• Damit die Ereignisse in $S$ und $S^{\prime}$ eins zu eins korrespondieren, müssen $x$ und $x^{\prime}$ in einer linearen Beziehung stehen.
• Da bekannt ist, dass die Galilei-Transformation in alltäglichen mechanischen Situationen korrekt ist, sollte sie durch Gleichung ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$) angenähert werden können.
• Sie sollte möglichst einfach sein.

Da physikalische Formeln in den Bezugssystemen $S$ und $S^{\prime}$ die gleiche Form haben müssen, sollte man, um $x$ durch $x^{\prime}$ und $t$ auszudrücken, nur das Vorzeichen von $\vec{v}$ (die Richtung der relativen Bewegung) ändern müssen, und da es außer dem Vorzeichen von $\vec{v}$ keinen Unterschied zwischen den beiden Bezugssystemen geben sollte, muss $\gamma$ gleich sein.

\[x = \gamma(x^{\prime}+\vec{v}t^{\prime}). \label{eqn:lorentz_transform_x_inverse}\tag{6}\]

Wie bei der Galilei-Transformation gibt es keinen Grund, warum sich die Komponenten senkrecht zur Richtung von $\vec{v}$, also $y$ und $y^{\prime}$ sowie $z$ und $z^{\prime}$, unterscheiden sollten, daher setzen wir:

\[\begin{align*} y^{\prime} &= y \\ z^{\prime} &= z \end{align*} \label{eqn:lorentz_transform_yz} \tag{7}\]

Wenn wir nun Gleichung ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) in ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_inverse}$) einsetzen, erhalten wir:

\[x = \gamma^2 x - \gamma^2 \vec{v}t + \gamma \vec{v}t^{\prime}\]

Nach $t^{\prime}$ aufgelöst ergibt sich:

\[t^{\prime} = \gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)x \label{eqn:lorentz_transform_t} \tag{8}\]

Um nicht im Widerspruch zu den Maxwell-Gleichungen zu stehen, muss die Lichtgeschwindigkeit in beiden Bezugssystemen gleich $c$ sein, und dies können wir nutzen, um $\gamma$ zu bestimmen. Wenn zum Zeitpunkt $t=0$ die Ursprünge beider Bezugssysteme am gleichen Ort waren, dann ist aufgrund dieser Anfangsbedingung $t^\prime = 0$. Stellen wir uns nun vor, dass zum Zeitpunkt $t=t^\prime=0$ am gemeinsamen Ursprung von $S$ und $S^\prime$ ein Lichtblitz auftrat und die Beobachter in jedem Bezugssystem die Geschwindigkeit dieses Lichts messen. In diesem Fall gilt im Bezugssystem $S$:

\[x = ct \label{eqn:ct_S}\tag{9}\]

und im Bezugssystem $S^\prime$:

\[x^\prime = ct^\prime \label{eqn:ct_S_prime}\tag{10}\]

Wenn wir $x$ und $t$ in dieser Gleichung mit Hilfe der Gleichungen ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) und ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$) ersetzen, erhalten wir:

\[\gamma (x-\vec{v}t) = c\gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)cx\]

Lösen wir diese Gleichung nach $x$ auf, erhalten wir:

\[\left[\gamma-\left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c \right]x = c\gamma t + \vec{v}\gamma t\] \[\begin{align*} x &= \cfrac{c\gamma t + \vec{v}\gamma}{\gamma-\left(\cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c} \\ &= ct\left[ \cfrac{\gamma + \cfrac{\vec{v}}{c}\gamma}{\gamma - \left( \cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}} \right)c} \right] \\ &= ct\left[ \cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} \right] \end{align*}\]

Da aber aus Gleichung ($\ref{eqn:ct_S}$) $x=ct$ folgt, muss gelten:

\[\cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} = 1\]

und daher:

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{lorentz_factor}\tag{11}\]

Wenn wir diese Gleichung für $\gamma$ als Funktion von $\vec{v}$ in die Gleichungen ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$), ($\ref{eqn:lorentz_transform_yz}$), ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$) einsetzen, erhalten wir schließlich die Transformationsgleichungen vom Bezugssystem $S$ zu $S^\prime$.

Transformationsmatrix der Lorentz-Transformation

Die endgültigen Transformationsgleichungen, die wir oben erhalten haben, lauten:

• \[x^\prime = \frac{x-\vec{v}t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_x_fin}\tag{12}\]
• \[y^\prime = y \label{eqn:lorentz_transform_y_fin}\tag{13}\]
• \[z^\prime = z \label{eqn:lorentz_transform_z_fin}\tag{14}\]
• \[t^\prime = \frac{t-\cfrac{\vec{v}x}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_t_fin}\tag{15}\]

Diese Gleichungen bilden die Lorentz-Transformation. Wenn wir $\vec{\beta}=\vec{v}/c$ setzen, können wir sie als Matrix wie folgt darstellen:

\[\begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix}. \label{lorentz_transform_matrix}\tag{16}\]

Lorentz zeigte, dass bei Verwendung dieser Transformationsgleichungen die grundlegenden Formeln der Elektrodynamik in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben. Außerdem können wir sehen, dass für Geschwindigkeiten $v$, die sehr klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit $c$ sind, $\gamma \to 1$ gilt, sodass die Lorentz-Transformation durch die Galilei-Transformation angenähert werden kann.

Inverse Lorentz-Transformation

Manchmal ist es praktischer, die Messungen im bewegten System $S^\prime$ in Messungen im ruhenden System $S$ umzuwandeln, anstatt umgekehrt die Messungen im ruhenden System $S$ in Messungen im bewegten System $S^\prime$ zu transformieren. In solchen Fällen kann die inverse Lorentz-Transformation verwendet werden.
Wenn wir die Inverse der Matrix in ($\ref{lorentz_transform_matrix}$) berechnen, erhalten wir die folgende inverse Lorentz-Transformationsmatrix:

\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix}. \tag{17}\]

Dies entspricht dem Austausch der physikalischen Größen mit und ohne Strich in den Gleichungen ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_fin}$)-($\ref{eqn:lorentz_transform_t_fin}$) und dem Ersetzen von $v$ durch $-v$ (bzw. $\beta$ durch $-\beta$).

• \[x = \frac{x^\prime+\vec{v}t^\prime}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{18}\]
• \[y = y^\prime \tag{19}\]
• \[z = z^\prime \tag{20}\]
• \[t = \frac{t^\prime+\cfrac{\vec{v}x^\prime}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{21}\]