Inhomogene lineare DGL zweiter Ordnung

TL;DR

• Allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL zweiter Ordnung $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: allgemeine Lösung der homogenen GDGL $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: eine partikuläre Lösung der inhomogenen GDGL
• Der Antwortterm $y_p$ wird nur durch die Eingabe $r(x)$ bestimmt und ändert sich nicht mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen für dieselbe inhomogene GDGL. Die Differenz zweier partikulärer Lösungen der inhomogenen GDGL ist eine Lösung der zugehörigen homogenen GDGL.
• Existenz der allgemeinen Lösung: Wenn die Koeffizienten $p(x)$, $q(x)$ und die Eingabefunktion $r(x)$ der inhomogenen GDGL stetig sind, existiert immer eine allgemeine Lösung.
• Nichtexistenz singulärer Lösungen: Die allgemeine Lösung umfasst alle Lösungen der Gleichung (d.h. es existieren keine singulären Lösungen).

Voraussetzungen

• Homogene lineare DGL zweiter Ordnung
• Wronski-Determinante, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Allgemeine und partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen DGL zweiter Ordnung

Betrachten wir die inhomogene lineare DGL zweiter Ordnung

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

Hierbei ist $r(x) \not\equiv 0$. Die allgemeine Lösung der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf einem offenen Intervall $I$ ist die Summe aus der allgemeinen Lösung $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ der zugehörigen homogenen GDGL

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

und einer partikulären Lösung $y_p$ der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) in der Form

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

Eine partikuläre Lösung der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ ist eine Lösung, die man aus der allgemeinen Lösung ($\ref{eqn:general_sol}$) erhält, indem man den beliebigen Konstanten $c_1$ und $c_2$ in $y_h$ bestimmte Werte zuweist.

Das heißt, wenn zur homogenen GDGL ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) eine nur von der unabhängigen Variablen $x$ abhängige Eingabe $r(x)$ hinzugefügt wird, wird der Antwort ein entsprechender Term $y_p$ hinzugefügt. Dieser zusätzliche Antwortterm $y_p$ wird ausschließlich durch die Eingabe $r(x)$ bestimmt und ist unabhängig von den Anfangsbedingungen. Wie wir später sehen werden, ist die Differenz zweier beliebiger Lösungen $y_1$ und $y_2$ der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) (d.h. die Differenz zweier partikulärer Lösungen für unterschiedliche Anfangsbedingungen) so, dass der von den Anfangsbedingungen unabhängige Teil $y_p$ sich aufhebt und nur die Differenz zwischen ${y_h}_1$ und ${y_h}_2$ übrig bleibt. Diese Differenz ist nach dem Superpositionsprinzip eine Lösung der Gleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).

Beziehung zwischen den Lösungen der inhomogenen und der zugehörigen homogenen GDGL

Satz 1: Beziehung zwischen den Lösungen der inhomogenen GDGL ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) und der homogenen GDGL ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)
(a) Die Summe einer Lösung $y$ der inhomogenen GDGL ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) und einer Lösung $\tilde{y}$ der homogenen GDGL ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) auf einem offenen Intervall $I$ ist eine Lösung der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$. Insbesondere ist die Gleichung ($\ref{eqn:general_sol}$) eine Lösung der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$.
(b) Die Differenz zweier Lösungen der inhomogenen GDGL ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ ist eine Lösung der homogenen GDGL ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$.

Beweis

(a)

Bezeichnen wir die linke Seite der Gleichungen ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) und ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) mit $L[y]$. Dann gilt für eine beliebige Lösung $y$ der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) und eine beliebige Lösung $\tilde{y}$ der Gleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$:

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

Für zwei beliebige Lösungen $y$ und $y^*$ der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ gilt:

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

Die allgemeine Lösung der inhomogenen GDGL umfasst alle Lösungen

Für die homogene GDGL ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) wissen wir bereits, dass die allgemeine Lösung alle Lösungen umfasst. Zeigen wir nun, dass dasselbe auch für die inhomogene GDGL ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) gilt.

Satz 2: Die allgemeine Lösung der inhomogenen GDGL umfasst alle Lösungen
Wenn die Koeffizienten $p(x)$, $q(x)$ und die Eingabefunktion $r(x)$ der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf einem offenen Intervall $I$ stetig sind, dann kann jede Lösung der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ durch geeignete Wahl der beliebigen Konstanten $c_1$ und $c_2$ in $y_h$ der allgemeinen Lösung ($\ref{eqn:general_sol}$) der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ erhalten werden.

Beweis

Sei $y^*$ eine beliebige Lösung der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf $I$ und sei $x_0$ ein beliebiger Punkt im Intervall $I$. Nach dem Satz über die Existenz einer allgemeinen Lösung existiert $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$, und durch die später zu besprechende Methode der Variation der Konstanten existiert auch $y_p$, sodass die allgemeine Lösung ($\ref{eqn:general_sol}$) der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ existiert. Nach dem zuvor bewiesenen Satz 1(b) ist $Y = y^* - y_p$ eine Lösung der homogenen GDGL ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$, und bei $x_0$ gilt:

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

Gemäß dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme existiert auf dem Intervall $I$ eine eindeutige partikuläre Lösung $Y$ der homogenen GDGL ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), die durch geeignete Wahl von $c_1$ und $c_2$ in $y_h$ für die obigen Anfangsbedingungen erhalten werden kann. Da $y^* = Y + y_p$ ist, haben wir gezeigt, dass jede beliebige partikuläre Lösung $y^*$ der inhomogenen GDGL ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) aus der allgemeinen Lösung ($\ref{eqn:general_sol}$) abgeleitet werden kann. $\blacksquare$