Euler-Cauchy-Gleichung

TL;DR

• Euler-Cauchy-Gleichung: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Hilfsgleichung (auxiliary equation): $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• Je nach Vorzeichen der Diskriminante der Hilfsgleichung $(1-a)^2 - 4b$ kann die allgemeine Lösung in drei Fälle unterteilt werden, wie in der Tabelle dargestellt

Fall	Lösungen der Hilfsgleichung	Basis der Lösungen der Euler-Cauchy-Gleichung	Allgemeine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung
I	Verschiedene reelle Wurzeln $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	Reelle doppelte Wurzel $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	Konjugiert komplexe Wurzeln $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Voraussetzungen

• Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
• Eulersche Formel

Hilfsgleichung (auxiliary equation)

Die Euler-Cauchy-Gleichung ist eine Differentialgleichung der Form

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]

mit den Konstanten $a$ und $b$ und der unbekannten Funktion $y(x)$. Wenn wir in Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]

einsetzen, erhalten wir

\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]

also

\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]

Daraus ergibt sich die Hilfsgleichung

\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]

und die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $y=x^m$ eine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) ist, besteht darin, dass $m$ eine Lösung der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) ist.

Die Lösungen der quadratischen Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) sind

\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]

und daraus folgt, dass die beiden Funktionen

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) sind.

Wie bei homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten können wir je nach Vorzeichen der Diskriminante $(1-a)^2 - 4b$ der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) drei Fälle unterscheiden:

• $(1-a)^2 - 4b > 0$: Zwei verschiedene reelle Wurzeln
• $(1-a)^2 - 4b = 0$: Eine reelle Doppelwurzel
• $(1-a)^2 - 4b < 0$: Konjugiert komplexe Wurzeln

Form der allgemeinen Lösung je nach Vorzeichen der Diskriminante der Hilfsgleichung

I. Zwei verschiedene reelle Wurzeln $m_1$ und $m_2$

In diesem Fall bilden

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

eine Basis der Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) in jedem Intervall, und die allgemeine Lösung lautet

\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]

II. Reelle Doppelwurzel $m = \cfrac{1-a}{2}$

Wenn $(1-a)^2 - 4b = 0$, also $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, hat die quadratische Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) nur eine Lösung $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, und daraus ergibt sich eine Lösung der Form $y = x^m$:

\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]

Die Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) nimmt dann die Form

\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]

an. Wir suchen nun eine zweite linear unabhängige Lösung $y_2$ mit Hilfe der Methode der Ordnungsreduktion.

Wir setzen $y_2=uy_1$ und erhalten

\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]

Da $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, haben wir

\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]

und durch Integration erhalten wir $u = \ln x$.

Somit ist $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, und $y_1$ und $y_2$ sind linear unabhängig, da ihr Quotient keine Konstante ist. Die allgemeine Lösung mit der Basis $y_1$ und $y_2$ lautet

\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]

III. Konjugiert komplexe Wurzeln

In diesem Fall sind die Lösungen der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, und die entsprechenden komplexen Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) können mit Hilfe von $x=e^{\ln x}$ wie folgt geschrieben werden:

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]

Mit $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ und der Eulerschen Formel $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$ erhalten wir

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]

Daraus ergeben sich die beiden reellen Lösungen

\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]

Da ihr Quotient $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ keine Konstante ist, sind diese beiden Lösungen linear unabhängig und bilden daher nach dem Superpositionsprinzip eine Basis der Lösungen der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Daraus ergibt sich die allgemeine reelle Lösung:

\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]

Allerdings ist der Fall, in dem die Hilfsgleichung der Euler-Cauchy-Gleichung konjugiert komplexe Wurzeln hat, von geringerer praktischer Bedeutung.