Euler-Cauchy-Gleichung
Wir untersuchen, wie die allgemeine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung je nach Vorzeichen der Diskriminante der Hilfsgleichung verschiedene Formen annimmt.
TL;DR
- Euler-Cauchy-Gleichung: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
- Hilfsgleichung (auxiliary equation): $m^2 + (a-1)m + b = 0$
- Je nach Vorzeichen der Diskriminante $(1-a)^2 - 4b$ der Hilfsgleichung kann die allgemeine Lösung in drei Fälle eingeteilt werden, wie in der Tabelle dargestellt
Fall Lösungen der Hilfsgleichung Basis der Euler-Cauchy-Gleichung Allgemeine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung I Verschiedene reelle Wurzeln
$m_1$, $m_2$$x^{m_1}$, $x^{m_2}$ $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ II Reelle Doppelwurzel
$m = \cfrac{1-a}{2}$$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$ $y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$ III Konjugiert komplexe Wurzeln
$m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$,
$m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$,
$x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$
Voraussetzungen
- Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
- Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- Eulersche Formel
Hilfsgleichung (auxiliary equation)
Die Euler-Cauchy-Gleichung ist eine Differentialgleichung der Form
\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]mit gegebenen Konstanten $a$ und $b$ und der unbekannten Funktion $y(x)$. Wenn wir in Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)
\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]einsetzen, erhalten wir
\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]also
\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]Daraus ergibt sich die Hilfsgleichung
\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]und die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $y=x^m$ eine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) ist, ist, dass $m$ eine Lösung der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) ist.
Die Lösungen der quadratischen Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) sind
\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]und daraus folgt, dass die beiden Funktionen
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) sind.
Wie bei homogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können wir je nach Vorzeichen der Diskriminante $(1-a)^2 - 4b$ der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) drei Fälle unterscheiden:
- $(1-a)^2 - 4b > 0$: Zwei verschiedene reelle Wurzeln
- $(1-a)^2 - 4b = 0$: Eine reelle Doppelwurzel
- $(1-a)^2 - 4b < 0$: Konjugiert komplexe Wurzeln
Allgemeine Lösungsformen je nach Vorzeichen der Diskriminante
I. Zwei verschiedene reelle Wurzeln $m_1$ und $m_2$
In diesem Fall bilden
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]eine Basis der Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) auf jedem Intervall, und die allgemeine Lösung lautet
\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]II. Reelle Doppelwurzel $m = \cfrac{1-a}{2}$
Wenn $(1-a)^2 - 4b = 0$, also $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, hat die quadratische Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) nur eine Lösung $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, und die daraus resultierende Lösung der Form $y = x^m$ ist
\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]Die Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) nimmt dann die Form
\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]an. Wir suchen nun eine zweite linear unabhängige Lösung $y_2$ mit Hilfe der Ordnungsreduktion.
Wir setzen die gesuchte zweite Lösung als $y_2=uy_1$ an und erhalten
\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]Da $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, gilt
\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]und durch Integration erhalten wir $u = \ln x$.
Somit ist $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, und $y_1$ und $y_2$ sind linear unabhängig, da ihr Quotient keine Konstante ist. Die allgemeine Lösung lautet
\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]III. Konjugiert komplexe Wurzeln
In diesem Fall sind die Lösungen der Hilfsgleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, und die entsprechenden komplexen Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) können mit $x=e^{\ln x}$ wie folgt geschrieben werden:
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]Mit $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ und der Eulerschen Formel $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$ erhalten wir
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]Daraus ergeben sich die beiden reellen Lösungen
\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]Da ihr Quotient $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ keine Konstante ist, sind diese beiden Lösungen linear unabhängig und bilden somit nach dem Superpositionsprinzip eine Basis der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Die allgemeine reelle Lösung lautet daher
\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]Allerdings ist der Fall konjugiert komplexer Wurzeln bei der Euler-Cauchy-Gleichung von geringerer praktischer Bedeutung.
Transformation in eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Die Euler-Cauchy-Gleichung kann durch Variablensubstitution in eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten umgewandelt werden.
Mit der Substitution $x = e^t$ erhalten wir
\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]und die Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) wird zu einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten in $t$:
\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]Wenn wir Gleichung ($\ref{eqn:substituted}$) mit den Methoden für homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten lösen und dann mit $t = \ln{x}$ zurück zu $x$ transformieren, erhalten wir die gleichen Ergebnisse wie oben.