Neutronenabschwächung und mittlere freie Weglänge (Mean Free Path)

Neutronenabschwächung (Neutron Attenuation)

Ein monoenergetischer Neutronenstrahl mit der Intensität $I_0$ bestrahlt ein Target der Dicke $X$, und in einiger Entfernung hinter dem Target befindet sich ein Neutronendetektor. Wir nehmen an, dass sowohl das Target als auch der Detektor sehr klein sind und der Detektor nur einen kleinen Raumwinkel hat, sodass er nur einen Teil der durch das Target austretenden Neutronen erfassen kann. Folglich werden alle Neutronen, die mit dem Target kollidieren, entweder absorbiert oder in andere Richtungen gestreut, sodass nur die Neutronen, die nicht mit dem Target reagiert haben, den Detektor erreichen.

Sei $I(x)$ die Intensität des Neutronenstrahls, der nach einer Strecke $x$ im Target ohne Kollision übrig bleibt. Wenn der Neutronenstrahl ein Target mit einer ausreichend dünnen Dicke $\tau$ durchdringt, ist die Anzahl der Kollisionen pro Flächeneinheit $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[Neutronen/cm}^2\cdot\text{s]}$ (siehe Gleichungen (1) und (4) in Neutronenwechselwirkungen und Wirkungsquerschnitte). Daher ist die Abnahme der Neutronenstrahlintensität beim Durchgang durch die Strecke $dx$ im Target wie folgt:

\[-dI = \sigma_t IN dx = \Sigma_t I dx \tag{1}\]

Die Integration dieser Gleichung ergibt:

\[\frac{dI}{I} = -\Sigma_t dx\] \[I(x) = I_0e^{-\Sigma_t x} \tag{2}\]

Daraus folgt, dass die Intensität des Neutronenstrahls mit zunehmender Durchdringungstiefe im Target exponentiell abnimmt.

Mittlere freie Weglänge (Mean Free Path)

• Die durchschnittliche Strecke, die ein Neutron nach einer Kollision mit einem Kern zurücklegt, bevor es mit einem anderen Kern kollidiert
• Mit anderen Worten, die durchschnittliche Strecke, die ein Neutron ohne Kollision zurücklegt
• Wird mit dem Symbol $\lambda$ bezeichnet

$I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass ein Neutron die Strecke $x$ im Medium ohne Kollision mit einem Kern zurücklegt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit $p(x)dx$, dass ein Neutron die Strecke $x$ im Medium ohne Kollision zurücklegt und dann innerhalb der Strecke $dx$ kollidiert, wie folgt:

\[\begin{align*} p(x)dx &= \frac{I(x)}{I_0} \Sigma_t dx \\ &= e^{-\Sigma_t x}\times \Sigma_t dx \\ &= \Sigma_t e^{-\Sigma_t x}dx \end{align*}\]

Daraus können wir die mittlere freie Weglänge (mean free path) $\lambda$ wie folgt berechnen:

\[\begin{align*} \lambda &= \int_0^\infty xp(x)dx \\ &= \Sigma_t \int_0^\infty xe^{-\Sigma_t x}dx \\ &= \Sigma_t \left(\left[-\frac{1}{\Sigma_t}xe^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty +\int_0^\infty \frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right) \\ &= \left[-\frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty \\ &= 1/\Sigma_t \tag{3} \end{align*}\]