Bernoulli-Gleichung (Bernoulli Equation)

Bernoulli-Gleichung (Bernoulli Equation)

\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ ist eine beliebige reelle Zahl)} \tag{1}\]

Die Bernoulli-Gleichung (1) ist linear, wenn $a=0$ oder $a=1$, und in allen anderen Fällen nichtlinear. Sie kann jedoch durch den folgenden Prozess in eine lineare Form umgewandelt werden.

Setzen wir

\[u(x)=[y(x)]^{1-a}\]

und differenzieren dies. Wenn wir dann $y’$ aus Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir

\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]

In der rechten Seite ist $y^{1-a}=u$, also erhalten wir die folgende lineare Differentialgleichung erster Ordnung:

\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]

Beispiel: Logistische Gleichung (Logistic Equation)

Lösen Sie die logistische Gleichung (eine spezielle Form der Bernoulli-Gleichung):

\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]

Lösung

Wenn wir Gleichung (3) in die Form von Gleichung (1) umschreiben, erhalten wir

\[y'-Ay=-By^2\]

Hier ist $a=2$, also ist $u=y^{1-a}=y^{-1}$. Wenn wir dieses u differenzieren und $y’$ aus Gleichung (3) einsetzen, erhalten wir

\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]

Der letzte Term ist $-Ay^{-1}=-Au$, also erhalten wir die folgende lineare Differentialgleichung erster Ordnung:

\[u'+Au=B\]

Gemäß der Lösungsformel für inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung können wir die folgende allgemeine Lösung finden:

\[u=ce^{-At}+B/A\]

Da $u=1/y$, erhalten wir daraus die allgemeine Lösung für Gleichung (3):

\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]