Bernoulli-Gleichung (Bernoulli Equation)
Wir untersuchen die Bernoulli-Gleichung und die Lösungsmethode für die logistische Gleichung, eine spezielle Form der Bernoulli-Gleichung.
Bernoulli-Gleichung (Bernoulli Equation)
\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ ist eine beliebige reelle Zahl)} \tag{1}\]Die Bernoulli-Gleichung (1) ist linear, wenn $a=0$ oder $a=1$, und in allen anderen Fällen nichtlinear. Sie kann jedoch durch den folgenden Prozess in eine lineare Form umgewandelt werden.
Setzen wir
\[u(x)=[y(x)]^{1-a}\]und differenzieren dies. Wenn wir dann $y’$ aus Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir
\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]In der rechten Seite ist $y^{1-a}=u$, also erhalten wir die folgende lineare Differentialgleichung erster Ordnung:
\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]Beispiel: Logistische Gleichung (Logistic Equation)
Lösen Sie die logistische Gleichung (eine spezielle Form der Bernoulli-Gleichung):
\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]Lösung
Wenn wir Gleichung (3) in die Form von Gleichung (1) umschreiben, erhalten wir
\[y'-Ay=-By^2\]Hier ist $a=2$, also ist $u=y^{1-a}=y^{-1}$. Wenn wir dieses u differenzieren und $y’$ aus Gleichung (3) einsetzen, erhalten wir
\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]Der letzte Term ist $-Ay^{-1}=-Au$, also erhalten wir die folgende lineare Differentialgleichung erster Ordnung:
\[u'+Au=B\]Gemäß der Lösungsformel für inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung können wir die folgende allgemeine Lösung finden:
\[u=ce^{-At}+B/A\]Da $u=1/y$, erhalten wir daraus die allgemeine Lösung für Gleichung (3):
\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]